Anfangwertproblem in DGL 1. Ordnung überführen

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15.12.2010, 14:12	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangwertproblem in DGL 1. Ordnung überführen Meine Frage: Hallo liebe Leute, Ich sitze vor folgender Aufgabe und verstehe es einfach nicht. Ich weiß dass es nur ganz wenige Schritte sind und man eigentlich gar nichts rechnen muss, sondern lediglich umformen. Umso wichtiger dass ich verstehe was ich hier warum mache, denn diese Aufgabe ist ein wahrer Punkte-Holer in der Klausur. Ich danke euch!! Hier die Aufgabe: Formen Sie das AWP y'' = t y^2, y(1)=12, y'(1)= -36 in ein AWP für ein DGL-System 1. Ordnung um. Meine Ideen: Aus einer ähnlichen Aufgabe habe ich versucht etwas abzuleiten und so angefangen: y = q0. y' = q0' = q1 y'' = q1' = t y^2 Da habe ich also q's neu definiert. Und jetzt??
15.12.2010, 14:43	Poissonklammer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y'' = t \cdot y^2 \end{eqnarray}$ Um eine DGL 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung umzuformen, musst du einmal substituieren: $\begin{eqnarray} y'' = v' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = v \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Ursprungs-DGL. Dann hast du von der Matrixform: $\begin{eqnarray} x' = Ax + b \end{eqnarray}$ bereits $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ entfällt, da es sich um eine homogene DGL handelt. Bleibt nur noch die Koeffizientenmatrix zu bestimmen. Schreib das doch mal soweit auf.
08.01.2011, 15:24	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich war verreist. Jetzt geht es weiter... Aaaalso: y'' = v' y' = v In die Ausgangs-DGL soll ich das nun einsetzen. Was ist denn mein y? Wenn y'=v wäre y = Integral (v) ? Das macht es doch nicht einfacher? Ich hätte nun so begonnen: y = q0. y' = q0' = q1 y'' = q1' = t y^2 Und jetzt? DAnKE!!
09.01.2011, 20:34	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß niemand weiter?? Ich brauche dringend einen Tip, die Aufgabe soll eigentlich so einfach sein! DANKE!
13.01.2011, 23:40	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck noch mal hier unter 12.4.3. Da wird es recht klar, denke ich.
16.01.2011, 17:31	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe von meinem Tutorien-Leiter nun folgende Lösung bekommen, die auch dem entspricht was auf der Internetseite (Danke Cel) angegeben ist: y'' = t y^2, y(1)=12, y'(1)= -36 Definiere neu: y1 = y y2 = y' -> In Matrixform: d/dt((y1),(y2)) = ((y'),(y'')) = ((y2),(t y^2)) AWP: Auch in Matrixform: ((y1[1]),(y2[1])) = ((12),(-36)) Hört sich das für euch sinnvoll und richtig an? Jetzt habe ich in meinen Aufzeichnunge aber auch eine solche Aufgabe gefunden, in der ganz anders verfahren wurde. Und zwar wurde mehrmals integriert und durch die Konstanten wurde es eine relativ lange Gleichung aus dem Ganzen. Woher weiß ich denn nun was richtig und in der Klausur verlangt ist?? DANKE!!
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16.01.2011, 20:24	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das, was du aufgeschrieben hast, ist üblich und richtig.
16.01.2011, 22:15	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Und was hat es mit dem Ansatz auf sich, dass man 2 Mal integriert und dann eine Lösung mit 2 oder 3 Konstanten c1,c2,c3 und mehreren Summanden bekommt? Das ist ja definitiv mehr Arbeit, da man je nachdem aufwändig integrieren muss. Ist das "besser", oder anders: Woher weiß ich denn was gefragt ist (siehe auch meinen letzten Beitrag) Danke!
17.01.2011, 16:41	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das müsstest du noch mal zeigen. Sagt mir nämlich gerade gar nichts - was nicht heißt, dass es falsch ist. Wenn man von dir aber verlangt, irgendeine DGL als System von DGLs erster Ordnung zu schreiben, dann stimmt das. Auch, wenn es vielleicht anders geht.
17.01.2011, 22:40	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich versuche es zu zeigen, um das Ganze zu einem Abschluss zu bringen. In einer Altklausur hieß es: Formen Sie folgende DGL in ein System von DGl 1. Ordnung um: y'''=y^(-2) + t Nun wird in der Lösung 3 mal integriert: y'' = t/y^2 + t^2/2 + c1 y' = 1/(2y^2) t^2 + t^3/6 + c^t + c2 y = 1/(6y^2) t^3 + t^4/24 + c1 t^2/2 + c2 t +c3 Mehr steht dort nicht. Tja... Danke!!
22.01.2011, 16:03	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand etwas dazu sagen?
30.01.2011, 21:26	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn hier niemand mehr helfen kann, dann kann das Thema geschlossen werden. Danke trotzdem, schöne Woche, Heiko

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