Matrix lösen

Neue Frage »

20.11.2006, 08:56	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix lösen Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a & -4 & -1 \\ 9 & 1 & -5 \\ 18 & 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 22 \\ 16 \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Aufgabe: Für welche Werte von a und b besitzt dieses Gleichungssystem a) genau eine Lösung b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen Wie lautet im Fall c) die Lösungsmenge? Geben sie zur Beantwortung die Variablen y und z in abhängigkeit von x an! So, ich hab eigentlich keinen Plan, was diese AUfgabe von mir will, ich braäuchte mal dringend ne Erklärung, damit ich mal die AUfgabenstellung verstehe!
20.11.2006, 11:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix lösen Zunäscht mal fehlt das was. In Kurzform sieht ein Lineares Gleichungssystem so aus: Ax = b $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & -4 & -1 \\ 9 & 1 & -5 \\ 18 & 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 22 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun sollst du die Lösbarkeit untersuchen. Da sollte bei Dir sofort der Begriff "Rang der Matrix" A fallen. - Was bedeutet er? - Wann ist die durch A dargestellte Abbildung surjektiv /injektiv/ bijektiv? - Was ist Im(A) (oder Bild(A)? Dann solltest Du a und b bestimmen können. Gruß, tigerbine
22.11.2006, 13:26	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast recht, hatte ich vergessen... Rang der Matrix, Jo...schonmal gehört aber ich hab keine Ahnung wie ich den Bestimme... Und den Rest hab ich noch nie gehört..... Soll ich denn einfach mit Gauß rechnen bis es nicht mehr weiter geht? Und dann gucken, wie ich a / b bestimmen müsste um die Lösungsfälle zu erhalten?
22.11.2006, 13:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang der Matrix - Schau im Skript nach - auch die anderen Begriffe oder googel bei wikipedia Dann: Bestimme det(A) mit Sarrus-Regel. Poste Ergebnis.
04.12.2006, 16:00	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
meine Det(A) ist: 18a + 270
04.12.2006, 21:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Für welche a ist also die Matrix regulär, und für welche singulär? http://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix
Anzeige

05.12.2006, 17:49	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt ich überprüfe ob die Matrix invertierbar ist, wenn sie das ist, dann gibt es nur eine eindeutige Lösung?!
05.12.2006, 18:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. aber wie überprüfst Du Invertierbarkeit? Welcher Zusammenhang mit der Determinante besteht?
08.12.2006, 15:25	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mein LGS ist eindeutig lösbar, wenn die Det ungleich 0 ist.... wenn sie 0 ist, dann gibt es unendlich viele Lösungen oder ist sie dann garnicht lösbar? a muss also ungleich -15 sein, dann wird die det nicht 0, und das LGS ist eindeutig lösbar. Aber wie bekomm ich da b noch mit rein? Die Frage is ja "für welche Werte von a und b"...??
08.12.2006, 16:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
also halten wir als Teilergebnis fest. Fall 1: $\begin{eqnarray} a\neq -15 \end{eqnarray}$ , dann ist das LGS für alle $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar[/latex] Fall 2: a = -15, dann lautet das LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -15 & -4 & -1 \\ 9 & 1 & -5 \\ 18 & 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 22 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Abbildung ist jetzt nicht mehr bijektiv, was, da wir uns in einem endlich dimensionalen VR befinden bedeutet, dass sie weder surjektiv noch injektiv ist. D.h. es kann Werte von b geben, so dass der "Zielvektor" die nicht in der Bildmenge liegt. Wende nun mal den Gauss-Algo auf das LGs an und bestimme die Lösungsmenge, in Abhängigkeit von b. Dann wirst Du sehen, für welche b es keine Lösung gibt.
10.12.2006, 21:31	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab grad null Durchblick.... ich hab doch im Gauß 4 Unbekannte mit drei Gleichungen, dann muss ich doch eine freistellen oder? also zb.: Z=1 oder lieg ich da falsch.....also alles was ich hier versucht habe, endet im wirren Mist, der absolut nicht verwertbar ist.... Problem: Montag muss die Aufgabe gelöst sein
10.12.2006, 21:35	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
b = -4 x = 5 y = -18 wenn ich Z = 1 freistelle dann kommen oben geschriebene Lösungen raus... IS das richtig?
10.12.2006, 22:06	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
So, neuer Stand: a = -15 b = -4 dann unendlich viele Lösungen a $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ -15 b = -4 dann eindeutige Lösung a = -15 b $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ -4 dann keine Lösung Wie lautet im Fall c) die Lösungsmenge? Geben sie zur Beantwortung die Variablen y und z in abhängigkeit von x an! So, und genau jetzt hört es endgültig auf!!!! Wie soll ich denn jetzt ne Lösungsmenge bestimmen? und das mit der Abhängigkeit bekomm ich überhaupt nich gepeilt..... BRAUCHE DRINGEND SCHNELLE HILFE
10.12.2006, 23:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -15 & -4 & -1 \\ 9 & 1 & -5 \\ 18 & 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 22 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -15 & -4 & -1 \\ 9 & 1 & -5 \\-9 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 22 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -24 & -6 & 0 \\ -36 & -9 & 0 \\-9 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b-8 \\ -18 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -24 & -6 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\-9 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b-8 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\-9 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b+4\\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, nun an die Interpretation: $\begin{eqnarray} \text{Fall 2a: } b \neq -4 \text{ keine Lösung} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Fall 2b: } b = -4 \text{ unendl. viele Lösungen} \end{eqnarray}$ D.h. wir können eine der Komponenten des Lösungsvektors x frei wählen, und geben die anderen in abhängigkeit von dieser an. Wegen meiner Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} x_1 \text{ frei wählbar} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 2 - 4x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = -8 + 2x_2 + 9x_1 = -8 +2(2-4x_1) + 9x_1 = x_1 -4 \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} x_1 = 0, x_2= 2, x_3 = - 4 \end{eqnarray}$
12.12.2006, 17:40	Tenmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für deine Hilfe, meine AUfgabe wurde als bestanden gewertet... Ich verneige mich...

Neue Frage »

Antworten »

Matrix lösen

Verwandte Themen