Monoton wachsenden Folge? + Grenzwerte

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Broly Auf diesen Beitrag antworten »
Monoton wachsenden Folge? + Grenzwerte
Hallo, habe mal ein paar Aufgaben wo ich etwas Hilfe benötige.

Aufgabe 1: Zeige das die Folge


1. monoton wachsend ist
2. die Schranke 1 besitzt(d.h für alle )



Aufgabe 2:
Sei
Berechne die kleinste natürliche Zahl so dass für alle gilt.



Aufgabe 3:
Berechne die Grenzwerte der angegebenen Folgen:







für alle n gilt


Aufgabe 4:
Angenommen der Umsatz einer Firma steigt jedes Jahr um 2%. Der Umsatz im ersten Jahr ist 40 000€.

1) Wie groß ist der Umsatz im 4 Jahr ?

2) Gebe eine Formel an mit dem der Umsatz für n-Jahre berechnet werden kann.

3)In welchem Jahr ist der Umsatz erstmals größer als 60000 €?
(Bemerkung: Sie dürfen ohne Begründung benutzen, dass sich beim Logarithmieren einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen nicht verändert, wenn die Basis des Logarithmus größer 1 ist.



So zu meinen Ideen / Ergebnissen.


Aufgabe 1:

monoton steigend wenn:






Schranke :



Aufgabe 2:
Hier habe ich keine ahnung wie ich die lösen soll.
Hab mal spaßenshabler für mich ne Wertetabelle gemacht und festgestellt das die Folge monoton fallend ist.

Ich weiß nicht wie ich hier weiter machen soll.


Aufgabe 3:

1.
habe ich raus.

2.
habe ich -1 raus.

3.
habe ich nichts raus. Ich weiß nicht wie ich das ausklammern soll.



ich würde hier n ausklammern ist das richtig?
dann hätte ich aber Probleme bei
und bei

Aufgabe 4:
Das soll ich scheinbar mit ungleichungen und logarithmen machen, wenn ich mir die Noiz dazu so anschaue. Aber wie?^^ habs auf meine Art gemacht.

1)

Endkapital = Startkapital + Startkapital * (0.02n-1)

Fürs 4. Jahr also:
Endkapital = 40.000 + 40.000 * ( 0.02*4-1)
Endkapital = 40.000 + 2400
Endkapital = 42.400 €


2)
Endkapital = Startkapital + Startkapital * (0.02n-1)

3)
Hier weiß ich nicht wie ich das Rechnerisch belegen soll, schon gar nicht mit log und einer Ungleichung. Ich weiß das der Umsatz jedes jahr um 800 € steigt und von 40.000 - 60.000 , 20.000 fehlen was 50 % sind. Bei 2 % Wachstum pro Jahr macht das 25 Jahre. ^^


Grüße
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monoton wachsenden Folge? + Grenzwerte
Zitat:
Original von Broly
Hallo, habe mal ein paar Aufgaben Gott


Aufgabe 2:
Sei
Berechne die kleinste natürliche Zahl so dass für alle gilt.



Aufgabe 2
Hier habe ich keine ahnung wie ich die lösen soll.



du hast schon mal die Betrags-Ungleichung falsch notiert geschockt
a ist ja der Grenzwert deiner Folge
und du sollst herausfinden, von welchem n an für alle folgenden n
der Abstand des Folgenglieds a(n) vom Grenzwert a kleiner als epsilon wird.

also: richtig sieht das so aus:

... so dass
für alle

setze nun erst mal alle gegebenen Werte richtig ein
und berechne dann jenes n in Abhängigkeit von epsilon
ab dem die Ungleichung erfüllt ist ..

mach mal ->...
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Habs doch ganauso stehen ^^:


ah ja sorry, falsch abgeschrieben. Und das kleiner gleich ist nur ein < .


für alle

also wenn ich einsetze:



rechne mal einfach los mal schauen ^^:


argh ich brech hier mal ab mit dem rechnen, das macht keinen sinn ^^
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly

für alle

also wenn ich einsetze:

smile

rechne mal einfach los mal schauen ^^:
geschockt


Tipp: wie wärs mit dem Hauptnenner?

.. versuch mal das herauszubekommen: was gibt

1) ..

2) .. vom Ergebnis den Betrag ?

3) .. wie sieht also die richtige Ungleichung dann aus?

usw..

also dann schlussendlich n> ?
.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »



??
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly


??

ist doch super..
und da n>0 ist gilt:

und jetzt musst du nur noch die Ungleichung

so bearbeiten, dass du daraus dann etwas über n herausfindest..

-> ..?
 
 
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm^^ Big Laugh

Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist ab die Lösung?

hab mal eingesetzt , da wäre


allerdings hatte ich mich verschrieben die linke seite sollte nicht kleiner gleich sondern kleiner sein. Da das aber = und nicht < ist stimmt die Lösung nicht?^^
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly

Freude

Also ist ab die Lösung? <- absoluter Schwachsinn


die Lösung ist

.. lies doch nochmal die Frage zu Beginn der Aufgabe!

und der Antwortsatz heisst: für alle n>76 sind die zugehörigen a(n)
weniger als 1/77 vom Grenzwert weg ...

ok?
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. klingt plausibler ^^ Dankeschön schon mal! =)

Kannst mir vllt noch weiterhelfen? ;D
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly

Kannst mir vllt noch weiterhelfen?


nein , ich bin jetzt dann gleich weg
.. aber vielleicht erbarmt sich ja sonst jemand ? smile


.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Mag mir denn keiner mehr bei ,

Grenzwert für :



und bei


Aufgabe 4:
Angenommen der Umsatz einer Firma steigt jedes Jahr um 2%. Der Umsatz im ersten Jahr ist 40 000€.

1) Wie groß ist der Umsatz im 4 Jahr ?

2) Gebe eine Formel an mit dem der Umsatz für n-Jahre berechnet werden kann.

3)In welchem Jahr ist der Umsatz erstmals größer als 60000 €?
(Bemerkung: Sie dürfen ohne Begründung benutzen, dass sich beim Logarithmieren einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen nicht verändert, wenn die Basis des Logarithmus größer 1 ist.


helfen?
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß das der Grenzwert 9 ist, aber wie rechne ich das ?



fange mal an mit dem was ich weiß. Ich würde n ausklammern, dann weiß ich das n/n = 1 ist und 2/n gegen 0 geht , also dann :


Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Schon gut, hab die Aufgaben gelöst. Trotzdem Danke!
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly
Schon gut, hab die Aufgaben gelöst. Trotzdem Danke!

das ist ja prima - aber wie sieht es dann mit deinem Lösungsweg aus?

du bist doch offenbar mit dem Bruchrechnen auf Kriegsfuss.?

natürlich schade, dass sich sonst niemand um dich gekümmert hat
deshalb hier noch ein paar Anmerkungen ..

1) den Bruch mit n kürzen liefert:



2) nachschlagen, wie man Potenzrechnet gibt dir dann (weil 3²=9) ->



3) so ... und da du inzwischen hoffentlich gelernt hast, wie man Brüche kürzt:
mach den nächsten Schritt selbst: kürze mit 3^n

4) und jetzt sieht jeder von Weitem, was passieren wird, wenn
nun n immer grösser wird..
und man hat dir ja eh schon gesagt, wie der limes aussehen müsste..

alles klar?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly
Aufgabe 4:
Angenommen der Umsatz einer Firma steigt jedes Jahr um 2%. Der Umsatz im ersten Jahr ist 40 000€.

1) Wie groß ist der Umsatz im 4 Jahr ?

2) Gebe eine Formel an mit dem der Umsatz für n-Jahre berechnet werden kann.

3)In welchem Jahr ist der Umsatz erstmals größer als 60000 €?
(Bemerkung: Sie dürfen ohne Begründung benutzen, dass sich beim Logarithmieren einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen nicht verändert, wenn die Basis des Logarithmus größer 1 ist.

helfen?


Ist diese Aufgabe schon gelöst, ansonsten einfach mal hinschreiben, alle Beträge in €

Umsatz im Jahr 1: 40000
Umsatz im Jahr 2: 40000+0,02*40000 = 40000*1,02 =...
Umsatz im Jahr 3: 40000*1,02*1,02 =...
Umsatz im Jahr 4: 40000*1,02^3 =...

Wie hoch ist dann der Umsatz im Jahr n ?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie rechne ich
??

Ich weiß, dass ich log 1,02 nehmen muss. Angeblich soll das Ergebnis 20,475 sein.
Wie komm ich denn da drauf bzw. wie muss ich das in taschenrechner eingeben?
fenomenom Auf diesen Beitrag antworten »

n * log 1,02 = log 1,5
n = log 1,5/log 1,02
n = 20,475
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ich vermeindlich fertig bin "spammen" alle rum Big Laugh na toll Big Laugh

@corvus vielen dank das du noch mal geschrieben hast

hab es etwas anders gemacht als du.

gehört ja zusammen und kann man prinzipiell ja auch als schreiben so wies ja eigentlich jedes Kind kennt ^^

wewegen ich dann auf:



die n fallen weg weswegen letztendlich folgendes übrig bleibt
und das ist geich 9.

Vielleicht ist das schwachsinn, dann kläre mich bitte auf. Für mich hats allerdings n bisschen logik gehabt^^ und das Ergebnis ist auch richtig Big Laugh


@etwane

ja habe die Aufgabe schon gelöst. Hatte überlesen das das im Prinzip "Zinseszins" ist und dann hat das ganze mit dem logarithmus auch Sinn ergeben. Allerdings fande ich die Aufgabenstellung ein bisschen verwirrend, weswegen ich 2 Ergebnisse habe, je nachdem.

Sind die 40 000 das Anfangskapital oder schon der am Ende des 1. Jahr "Verzinste / Verrechnete" Umsatz? Es ließt sich so als ob es das letztere wäre, was ja eigentlich relativ untypisch ist? Und weswegen man vorsichtig mit der Zinseszinsformel sein muss, weil der Umsatz des vierten Jahres hätte dann die Formel:

und nicht

Ich habe meine verwirrtheit xD mit angegeben und gesagt, wenn 40.000 das Anfangskapital sein soll und noch im ersten Jahr "verzinst" wird ist das Ergebnis:

wenn die 40.000 allerdings wirklich der Ertrag nach dem 1. Jahr ist und uns das Anfangskapital somit "fehlt" ist
das ergebnis.

So erklärt das jedenfalls meine Logik ^^ auch hier ist jeder Hinweis auf Geisteskrankheit erwünscht.


@Chiller

Huhu
ja das Ergebnis ist richtig.Du hast ja :


Du kannst einen logarithmus auf eine x-beliebige Basis bringen wenn du die basis und das "ergebnis" mit dem neuen logarithmus berechnest und dividierst

Also hier ein beispiel mit dem normalen log


Und das lässt sich ja auch leicht nachprüfen mit



Sind nur ungefähre werteBig Laugh

Grüße
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