Zahlentheoretische Aufgabe

15.12.2010, 17:39

Egon

Zahlentheoretische Aufgabe

Hallo!

Leider kann ich die Aufgabe nicht sinnvoll im Betreff zusammenfassen. Es geht um folgendes: Gesucht sind die natürlichen Zahlen u und v, sodass der Term $\begin{eqnarray*} \frac{uv^3}{u^2+v^2} \end{eqnarray*}$ eine Primzahlpotenz ist.

Ich habe die Musterlösung gesehen und das gleiche Ergebnis erhalten, jedoch auf anderem Weg. Nun würde mich interessieren, ob mein Vorgehen wirklich auch richtig ist, oder ob es Fehler enthält, die dann einfach durch Glück keinen Einfluss aufs Ergebnis hatten.

1. Überlegung: Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{uv^3}{u^2+v^2}=p^k \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl p und eine natürliche Zahl k. Ich schreibe diesen Bruch um als $\begin{eqnarray*} \frac{p^n\cdot x}{p^m\cdot x} \end{eqnarray*}$ , wobei x eine beliebige natürliche Zahl ist, die sich wegkürzen muss, damit zum Schluss die verlange Primzahlpotenz übrig bleibt.

2. Überlegung: Es muss gelten $\begin{eqnarray*} uv^3=p^n\cdot x \end{eqnarray*}$ , also lassen sich u und v schreiben als
$\begin{eqnarray*} u:=p^a\cdot x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v:=p^b\cdot x_2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} n=a+3b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=x_1\cdot x_2^3 \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt auch $\begin{eqnarray*} u^2+v^2=p^{2a}x_1^2+p^{2b}x_2^2 \end{eqnarray*}$

3. Überlegung: Da x ja ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner sein muss, muss man ihn also aus der Summe im Nenner restlos ausklammern können. D.h. es muss $\begin{eqnarray*} x=x_1^2=x_2^2 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} x=x_1\cdot x_2^3=x_1^2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ sein.
Damit ist auch $\begin{eqnarray*} p^m\cdot x=p^{2a}x+p^{2b}x=p^{2a}+p^{2b} \end{eqnarray*}$ .

Ich unterscheide nun drei Fälle:
(i) Sei a<b, dann betrachte ich die Gleichung modulo $\begin{eqnarray*} 2^{2b} \end{eqnarray*}$ und sehe, dass sie nicht erfüllbar ist.
(ii) Sei a>b, dann betrachte ich die Gleichung modulo $\begin{eqnarray*} 2^{2a} \end{eqnarray*}$ und sehe analog, dass sie auch jetzt nicht erfüllbar ist.
(iii) Folglich muss a=b gelten, d.h. es ist $\begin{eqnarray*} p^m=2p^{2a} \end{eqnarray*}$ und damit muss p=2 seinn n=4a und m=2a+1 sein.

4. Überlegung: Mit den bisherigen Erkenntnissen ist u=v und es gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{uv^3}{u^2+v^2}=\frac{u^4}{2u^2}=\frac{2^{4a}}{2^{2a+1}}=2^{2a-1} \end{eqnarray*}$

Die gesuchten Zahlen u und v sind also die Zweierpotenzen und der Term nimmt als Werte die ungeraden Zweierpotenzen an.

Kann man das so begründen?

Danke & Gruss

15.12.2010, 19:08

René Gruber

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Kannst du mal noch etwas genauer erläutern, wie du zu Beginn von 3. auf $\begin{eqnarray*} x=x_1^2=x_2^2 \end{eqnarray*}$ schließt?

Das ist mir überhaupt nicht einsichtig, aber vielleicht bin ich ja zu blind. Augenzwinkern

15.12.2010, 20:34

Egon

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Meine Überlegung war, dass sich aus der Summe im Nenner der Faktor x vollständig ausklammern lassen muss, damit man ihn anschliessend wegkürzen kann.

Da ausserdem der Wert des Bruchs eine ganze Zahl sein muss und der (gekürzte) Zähler als Primzahlpotenz ja nur durch eine höchstens gleich grosse Primzahlpotenz mit der gleichen Basis geteilt werden kann, habe ich diese Folgerung gemacht.

15.12.2010, 21:54

René Gruber

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Ich verstehe deinen Ansatz erstmal so, dass $\begin{eqnarray*} x,x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ jeweils nicht durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar sein sollen, d.h., man packt die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Potenzen in die Exponenten $\begin{eqnarray*} n,m,a,b \end{eqnarray*}$ usw., habe ich dich da richtig verstanden (obwohl es oben nirgendwo steht)? verwirrt

Auf der Grundlage dieser Annahmen sehe ich in einem deutlich längeren Verfahren dann auch, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ sein muss, allerdings erst kurz vor der Gesamtlösung - wahrscheinlich bin ich etwas schwer von Begriff, dass ich es bei deiner Erklärung nicht kapiert habe. Augenzwinkern

16.12.2010, 07:50

Egon

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Zitat:

Original von René Gruber
Ich verstehe deinen Ansatz erstmal so, dass $\begin{eqnarray*} x,x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ jeweils nicht durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar sein sollen, d.h., man packt die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Potenzen in die Exponenten $\begin{eqnarray*} n,m,a,b \end{eqnarray*}$ usw., habe ich dich da richtig verstanden (obwohl es oben nirgendwo steht)? verwirrt

Ja, genau das meinte ich. Der Faktor x nimmt alles auf, was nicht in den p-Potenzen steht. Die p-Potenzen sind also maximal zu wählen.

Zitat:

Vielleicht habe ich auch einfach Glück gehabt, dass mein Ergebnis stimmt, und man braucht dein deutlich längeres Verfahren, um wirklich auf meine Behauptung zu kommen. Schwer von Begriff bist du ja sicher nicht...

16.12.2010, 08:54

René Gruber

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Ok, ich stelle mal meine Sicht der Dinge dar - gut möglich, dass sich das nahe an der Musterlösung bewegt: Zunächst ist mit den oben von dir eingeführten Bezeichnungen

$\begin{eqnarray*} p^{a+3b} x_1x_2^3 = p^k\left( p^{2a}x_1^2+p^{2b}x_2^2 \right) \end{eqnarray*}$ .

Umgeformt ergibt das

$\begin{eqnarray*} \left( p^{a+3b} x_1x_2 - p^{k+2b} \right) x_2^2 = p^{k+2a}x_1^2 \end{eqnarray*}$

und damit wegen $\begin{eqnarray*} p\not\:\mid x_2 \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} x_2^2|x_1^2 \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} x_2|x_1 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} x_1=x_2x_3 \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ dann auch nicht durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist) folgt

$\begin{eqnarray*} p^{a+3b} x_2^2x_3 = p^k\left( p^{2a}x_3^2+p^{2b} \right) \end{eqnarray*}$ ,

woraus mit ähnlicher Argumentation wie eben $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ und damit tatsächlich $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ folgt. Es ist dann

$\begin{eqnarray*} p^{a+3b} x_2^2 = p^k\left( p^{2a}+p^{2b} \right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt folgt eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} a\neq b,a=b \end{eqnarray*}$ :

1.Fall: $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} p^{a+3b} x_2^2 = p^{k+2\min(a,b)} \left( 1 + p^{2|b-a|} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was zu $\begin{eqnarray*} a+3b = k+2\min(a,b) \end{eqnarray*}$ und dem unlösbaren $\begin{eqnarray*} x_2^2 = 1 + \left( p^{|b-a|} \right)^2 \end{eqnarray*}$ führt.

2.Fall: $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$

Hier ist schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} p^{2a-k} x_2^2 = 2 \end{eqnarray*}$

was direkt $\begin{eqnarray*} x_2=1,p=2,k=2a-1 \end{eqnarray*}$ und damit den Lösungen

$\begin{eqnarray*} u=v=2^a \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$

führt.

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