Normalverteilung und Erwartungswert

15.12.2010, 17:40	T0b1a5	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung und Erwartungswert Nabend, ich komme mal direkt zur Aufgabe: Ein Pressekonzern will eine neue Tageszeitung herausbringen. Eine Marktanalyse ergab, dass sich die tägliche Nachfrage wie eine Zufallsvariable verhält, deren Verteilung in etwa der Normalverteilung mit Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ = 100000 und Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ = 25000 entspricht. Pro verkaufter Zeitung entsteht ein Gewinn von 0.10Euro, pro nicht verkaufter ein Verlust von 0.06 Euro. Wie hoch sollte die Auflage der Tageszeitung sein, um den erwarteten Gewinn zu maximieren? Also, ich weiß, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Anzahl der verkauften Zeitungen ist und $\begin{eqnarray} N\left(\mu,\sigma^{2}\right) \end{eqnarray}$ verteilt ist. Außerdem muss ich mit dem schwachen Gesetzt der großen Zahlen arbeiten. Wenn dann $\begin{eqnarray} G(X) \end{eqnarray}$ den Gewinn repräsentiert, dann müssen wir $\begin{eqnarray} E(G(X)) \end{eqnarray}$ bestimmen. Ich denke, dass außerdem $\begin{eqnarray} G\left(X\right)=\begin{cases} 10X-6\left(n-x\right) & X<n\\ 10n & X\geq n\end{cases} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Exemplare gilt. Soweit meine Gedanken, aber ich kann das ganze noch nicht zusammenbauen :\ Gruß
15.12.2010, 20:25	T0b1a5	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee ?
17.12.2010, 20:31	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
push Ich hänge quasi auch an dieser Stelle
17.12.2010, 21:04	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Na setz doch einfach ein! Also $\begin{eqnarray} E(G(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Nun ja, den negativen Teil können wir wohl streichen, weil der wohl verschwindend klein ist und sowieso auch inhaltlich keinen Sinn macht. Bleibt das Integral über den positiven Bereich, was wegen der Struktur von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ am besten an Stelle $\begin{eqnarray} x=n \end{eqnarray}$ aufgetrennt wird: $\begin{eqnarray} E(G(X)) = \int\limits_0^n g(x)f_X(x) ~ \dd x ~ + ~ \int\limits_n^{\infty} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ alles mit Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ deiner Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ . Also einsetzen, umformen, vereinfachen... EDIT: Obwohl ... vielleicht sollte man doch von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ beginnend integrieren, dann werden die Ausdrücke nicht ganz so eklig.
17.12.2010, 21:48	T0b1a5	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das klingt nach was brauchbaren, was schonmal an unserer Tafel war. Wir können ja auch von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ integrieren und nach dem Hauptsatz der Differenital und Integralrechnung einfach das Integral von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ abziehen. Werde mich da morgen noch einmal ransetzen. So schwer darf die Aufgabe nicht sein. Das schwierigste ist wohl, den Erwartungswert einer Funktion zu bestimmen, wobei ich diese auch splitten kann . . . (wofür quäle ich mich als Informatiker nur da durch ? )
17.12.2010, 21:54	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird am Ende unumgänglich sein, dass in dem Ausdruck für den Erwartungswert auch noch sowas wie die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi(\ldots) \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung verbleibt, die sich ja bekanntlich nicht mit üblichen Funktionen darstellen lässt.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »