injektiv |
| 15.12.2010, 17:40 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| injektiv h: -> : x -> x Meine Ideen: Laut Lösung ist diese Abbildung weder injektiv noch surjektiv ... aber warum? Ich hätte gesagt, es ist Injektiv 
|
||||||
| 15.12.2010, 17:48 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt da einen schönen Zusammenhang zwischen Injektivität und Kern einer linearen Abbildung. |
||||||
| 15.12.2010, 18:24 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der da wäre ?? ^^ |
||||||
| 15.12.2010, 18:27 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das frage ich ja gerade dich.
Wenn ihr den Zusammenhang hattet, wird der in deinem Skript/deiner Mitschrift stehen, schlag da also mal nach. Alternativ könntest du mal ein paar einfache Vektoren an die Matrix multiplizieren und vielleicht zwei Vektoren finden, die das gleiche Bild unter der Abbildung haben. |
||||||
| 15.12.2010, 19:14 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also nen zusammenhang hab ich da etz net gefunden
...es muss doch aber auch noch nen schnelleren weg geben, als zu probieren und mit gut Glück iwas zu finden, oda net ?! |
||||||
| 15.12.2010, 20:20 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie ist denn die Definition von injektiv? Ist dir der kern einer linearen Abbildung bekannt? Kennst du Kriterien die man für die Injektivität überprüfen könnte? |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 16.12.2010, 10:39 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, injektiv heißt, dass jedes Bild höchstens 1 Urbild besitzt. ...und den Kern bekommt man aus der Lösung des LGS Ax = 0. Hilft mir das jetzt weiter ? 
|
||||||
| 16.12.2010, 10:56 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das stimmt alles. Aber Iorekt hat doch schon gesagt, dass es zwischen Injektivität und dem Kern für lineare Abbildungen einen Zusammenhang gibt. Hast du im Skript geschaut, ob ihr den hattet? Wenn nicht, dann musst du eben zwei solche Vektoren finden. Mit "auf gut Glück" hat das hier nur begrenzt zu tun, denn man kann sofort sehen, welche zwei Vektoren ein schönes Gegenbeispiel geben. Schau dir die Matrix A mal an. Was fällt dir auf, wenn du die beiden Spalten vergleichst? Und dann überlege dir mal, was passiert, wenn man Einheitsvektoren an eine Matrix ranmultipliziert. Was erhält man (das ist eine Eigenschaft, die immer wieder sehr nützlich ist - also unbedingt mal machen und merken!)? air |
||||||
| 16.12.2010, 11:14 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gott, bin ich bescheuert 
Ich kenn den Satz: "f ist genau dann injektiv, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind." Aber da die Spalten von A ja vielfache voneinander sind, sind sie ja linear abhängig, also können sie gar nicht injektiv sein, oda ?! Das ist der einzige Zusammenhang, den ich jetzt gefunden habe: "Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0} ist." Heißt das, dass ich (falls es mal nicht so offensichtlich sein sollte) einfach den Kern von A ausrechnen muss und schaun muss ob 0 rauskommt ?? 
Und wenn nicht 0 rauskommt, weiß ich ja dann auch schon, dass es auch nicht bijektiv sein kann, aber könnt ich dann schon was über Surjektivität aussagen? sry, dass ich jetzt so allround frage, aber ich glaub ich bin grad ein bischen dabei, das ganze Zeug mit bijektiv, surjektiv und injektiv zu verstehen 
|
||||||
| 16.12.2010, 11:39 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau darauf wolle(n) er / ich / wir raus. 
Also ja, den Kern zu berechnen wäre eine Möglichkeit. Eine andere Möglichkeit hast du genannt: Lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren. Die dritte Möglichkeit wäre dann das Gegenbeispiel, dazu habe ich dir ja auch etwas (allgemein, nicht nur hier) Nützliches gesagt. Für die Surjektivität gibt es ähnliche Kriterien. Zum Beispiel ist f genau dann surjektiv, wenn die Bilder der Basisvektoren den Zielraum aufspannen. Anders formuliert: Die Spaltenvektoren von A bilden ein Erzeugendensystem des Bildraums (hier IR^3). Edit: Die folgende Formulierung deinerseits möchte ich sicherheitshalber noch korrigieren:
Die 0 ist immer eine Lösung bei einer linearen Abbildung (das folgt sofort aus er Linearität). Injektiv ist die Funktion genau dann, wenn 0 auch wirklich die einzige Lösung ist (man nennt den Kern dann trivial). air |
||||||
| 16.12.2010, 11:59 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie ich die ganzen ausdrücke liebe 
... sry, aber woher weiß ich obs nen erzeugendensystem des bildraums is ??
das hab ich gemeint, habs nur etwas zu salopp vormuliert
|
||||||
| 16.12.2010, 12:03 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf Erzeugendensystem überprüfen kann man normalerweise mit einem LGS (nachschlagen, sowas habt ihr sicher oft genug gemacht, als ihr Basen behandelt habt!). Hier ist das Ganze wesentlich einfacher. Du hast zwei Spalten, also zwei Vektoren, für die du nun überprüfen sollst, ob sie den IR^3 aufspannen. Das alleine ist schon schlimm genug, aber linear abhängig sind sie auch noch. Also noch offensichtlicher könnte die Antwort kaum sein ...
air |
||||||
| 16.12.2010, 12:25 | evilbiddy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
k, danke ich habs etz gecheckt
vielen danke, für die geduldigen antworten
|
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
