Gleichverteilung im Intervall [0,3]

15.12.2010, 17:49

Adamklein

Gleichverteilung im Intervall [0,3]

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz!

Meine Ideen:

Ich weiß, dass
E(x)= $\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! x*f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

(wobei untere intervallgrenze $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ wusste nur nicht wies im formeleditor geht)

Somit würde sich ergeben:
E(x)= $\begin{eqnarray*} \int_0^3 \!\frac{1}{3}x \, dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* \left[\frac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{3} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Laut meiner Logik müsste der Erwartungswert aber bei E(x)=1,5 liegen. Stimmt das?

Wie komme ich rechnerisch auch auf diese Lösung?

Wenn ich das weiß, kann ich mich dann an die Varianz machen...
Wär lieb wenn ihr mir helfen könntet...weiß, dass es eigentlich nichts kompliziertes ist, aber irgendwie steh ich auf der Leitung verwirrt

Vielen dank schonmal!

15.12.2010, 17:52

T0b1a5

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Du hast einen ganz einfachen Rechenfehler drin. Was sind

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}3^{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}0^{2} \end{eqnarray*}$

Und wie ist die Varianz definiert? Es ist doch nur einsetzen Augenzwinkern

Schreib dir mal die Definition auf und schau, was du hast.

15.12.2010, 18:03

Adamklein

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Oh Mann. DANKE! klar, jetzt seh ichs auch. so was blödes!
vielen dank!

und varianz ist doch dann 2,25. Stimmt´s?

15.12.2010, 18:11

T0b1a5

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Wenn ich mich jetzt nicht falsch gerechnet habe, komme ich auf 2,426666. Kann sein, dass es auch falsch ist, aber:

$\begin{eqnarray*} Var\left(x\right)=\overset{3}{\underset{0}{\int}}\left(x-\mu\right)^{2}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\overset{3}{\underset{0}{\int}}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}dx \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 18:16

Black

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Für die Varianz müsste 0.75 rauskommen.
Am einfachsten lässt sichs per Verschiebungsformel berechnen

15.12.2010, 18:20

T0b1a5

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Das klingt jedenfalls besser, da eine Abweichung von ~2,4 bei einer Gleichverteilung auf [0,3] doch unrealistisch ist.

15.12.2010, 18:33

Adamklein

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hab mich auch verrechnet, komm jetzt aber auf 0,75, weil ich vorher vergaß mit 1/3 zu multiplizieren
von deiner formel weiter bin. Formel auflösen, dann integrieren

D²= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* \int_0^3 \!(x^{2}-3x+2,25) \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left[\frac{x^{3} }{3}-\frac{3x^{2} }{2}+2,25x \right]_{0}^{3} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}(2,25-0) \end{eqnarray*}$

=0,75

kommt das nicht hin so?

15.12.2010, 18:39

Adamklein

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Gleichverteilung im Intervall [0,3]
und noch eine Frage:

ich muss auch $\begin{eqnarray*} P(1,5\leq x\leq 2) \end{eqnarray*}$ berechnen.
ich hab da 1/6 raus. stimmt das?
ich glaub ja, denn wenn ich das Intervall in 6 gleichgroße teilabschnitte einteile, wobei jedes= o,5 groß wäre, müsste ich ja noch immer eine gleichverteilung der zufallsvariable x haben. und da ja die summe aller wahrscheinlichkeiten = 1 ist muss dann 1/6 stimmen. ist das richtig?

15.12.2010, 18:43

Math1986

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RE: Gleichverteilung im Intervall [0,3]

Zitat:

Original von Adamklein
und noch eine Frage:

ich muss auch $\begin{eqnarray*} P(1,5\leq x\leq 2) \end{eqnarray*}$ berechnen.
ich hab da 1/6 raus. stimmt das?
ich glaub ja, denn wenn ich das Intervall in 6 gleichgroße teilabschnitte einteile, wobei jedes= o,5 groß wäre, müsste ich ja noch immer eine gleichverteilung der zufallsvariable x haben. und da ja die summe aller wahrscheinlichkeiten = 1 ist muss dann 1/6 stimmen. ist das richtig?

Ja, das stimmt so, so kann man auch argumentieren

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