Reihe auf Konvergenz überprüfen

20.11.2006, 12:04

Susi L

Reihe auf Konvergenz überprüfen

Hallo ...

Ich habe folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n + \sqrt{n} }{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \end{eqnarray*}$

ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen ...

$\begin{eqnarray*} \frac{n + \sqrt{n} }{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \leq \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

und die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert ...

laut Majorantenkriterium konvergiert also auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n + \sqrt{n} }{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \end{eqnarray*}$

stimmt das???

20.11.2006, 12:11

klarsoweit

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RE: Reihe auf Konvergenz überprüfen

Zitat:

Original von Susi L
$\begin{eqnarray*} \frac{n + \sqrt{n} }{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \leq \frac{n}{n^3} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob diese Abschätzung stimmt. Und das sehe ich auf den ersten Blick nicht. Du hast im Nenner was weggelassen, aber ob du dafür auch die Wurzel im Zähler weglassen kannst, so daß das ganze trotzdem größer wird, liegt für mich nicht auf der Hand. Augenzwinkern

20.11.2006, 12:41

Susi L

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Ich nehme an, dass mein

bn= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Rechne dann nach dem Grenzwertkriterium: $\begin{eqnarray*} \frac{an}{bn} \end{eqnarray*}$

Danach mache ich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n + \sqrt{n} }{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} * (\frac{n^2}{1}) \end{eqnarray*}$

nach dem ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^3 + n^{\frac{5}{2}}}{n^3 + 2n^2 + 3n + 4} \end{eqnarray*}$

danach den gesamten Term durch n^3

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1 + {\frac{1}{\sqrt{n} }}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{4}{n^3}} \end{eqnarray*}$

also da sonst alles gegen 0 geht, bleibt mir 1/1 übrig -> also 1

d.h. ich kann jetzt sagen, dass die Reihen gleiches Konvergenzverhalten haben und demnach beide divergieren.

Stimmt das so? Ist das das Grenzwertkriterium?

Danke
Susi L

20.11.2006, 12:59

klarsoweit

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Also erstmal solltest du da die Summenzeichen weglassen, da die Reihe in dieser Form divergiert. Formal hast du folgendes gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(a_n \cdot n^2) = 1 \end{eqnarray*}$
Also gibt es ein epsilon > 0, so daß ab einem n_0 $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n \leq \frac{1+\epsilon}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist. Damit hast du in der Tat eine konvergente Majorante.

Aber so kompliziert muß es gar nicht sein. Deine Abschätzung war ja fast ok. Du brauchtest nur die Wurzel(n) nach oben durch n abschätzen. Fertig. Augenzwinkern

20.11.2006, 13:41

Susi L

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wie meinst du das mit der Wurzel(n) nach oben abschätzen ... ich steh ein wenig auf der Leitung ...

reicht es wenn ich die Reihe durch n dividiere???

dann erhalte ich ...

$\begin{eqnarray*} \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{n} } }{n^2 + 2n + 3 + \frac{4}{n} } < \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

und dann wieder Majorantenkriterium??? oder ...

und stimmt die Lösung mit dem Grenzwertkriterium auch???

vielen Dank

20.11.2006, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Susi L
$\begin{eqnarray*} \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{n} } }{n^2 + 2n + 3 + \frac{4}{n} } < \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Also irgendwie tust du dich schwer mit der Abschätzung des Zählers. Es ist nun mal nicht $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} < 1 \end{eqnarray*}$ . Gehen würde:
$\begin{eqnarray*} \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{n} } }{n^2 + 2n + 3 + \frac{4}{n} } < \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$

Und dann das Majorantenkriterium.

Die Überlegung mit dem Grenzwertkriterium würde gehen, wenn du dann so argumentierst, wie ich es in meinem Beitrag vorher getan habe. Oder es gibt dazu einen bewiesenen Satz, der dies letztlich beinhaltet.

20.11.2006, 15:47

Susi L

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Ok ... ich habe verstanden ... danke ...

aber wie siehts jetzt beispielsweise bei folgendem Beispiel aus ...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{2n + 7}{n^3 - 4n^2 + 8n - 16} \end{eqnarray*}$

da verwirtt mich das - 4n^2 im Nenner ein wenig ... oder kann ich das unberücksichtigt lassen ... und auch einfach mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$ abschätzen???

oder muss ich irgendwie zeigen, dass das n^3 bei großen n größer ist als 4n^2???

vielen Dank

20.11.2006, 19:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Susi L
oder muss ich irgendwie zeigen, dass das n^3 bei großen n größer ist als 4n^2???

Das wird nicht ganz reichen. Wie wäre dies:
Erstmal überlegen wir, daß aus n>=8 folgt, daß n - 4 >= n/2 ist.
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} n^3 - 4n^2 = n^2 \cdot (n-4) \geq \frac{n^3}{2} \end{eqnarray*}$

Und daß 8n-16 ab n>=2 größer-gleich Null ist, liegt auf der Hand.

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