Basen, Vektorräume und Abbildungen

15.12.2010, 19:16	cipangu	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen, Vektorräume und Abbildungen Hallo! Nachdem ihr mir so gut bei einer Aufgabe der Analysis geholfen habt, hoffe ich das ihr das auch für die Lineare Algebra machen könnt. Jedenfalls habe ich bei der folgenden Aufgabe bereits ein Verständnis Problem, was ich da überhaupt genau machen soll, obwohl ja eigentlich dies in der Aufgabe bereist drin steht: Seien ( $\begin{eqnarray} b_{1},b_{2}) \end{eqnarray}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b'_{1},b'_{2} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Wir betrachten Abbildungen $\begin{eqnarray} \phi : \mathbb R ^2 \Rightarrow \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ mit den Eigenschaften: $\begin{eqnarray} (v+w)\phi=v\phi+w\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\lambda v)\phi= \lambda (v \phi) \end{eqnarray}$ für alle v,w $\begin{eqnarray} \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ (man sagt: $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist linear) und $\begin{eqnarray} b_{i\phi } = b'_{i} \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie: Es gibt genau eine Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit den genannten Eigenschaften. Falls $\begin{eqnarray} (b'_{1}, b'_{2} ) \end{eqnarray}$ eine Basis ist, so ist $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bijektiv. Na ja, wie gesagt wäre nett, wenn mir jemand die Aufgabe noch mal in vereinfachter Form darstellen könnte bzw. mir noch mal sagen kann, was ich da eigentlich machen soll. Danke schon mal im voraus. Gruß cipangu
15.12.2010, 19:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, steht alles drin. "es gibt genau eine Abbildung" heißt "es gibt eine Abbildung", wenn es noch eine gibt sind die beiden gleich. Tipp: Definiere die Abbildung für einen Vektor $\begin{eqnarray} x=x_1b_1+x_2b_2 \end{eqnarray}$ , jeder Vektor hat ja bezüglich der Basis eine eindeutige solche Darstellung. Wie eine geegnete Definition aussehen muss, ist aufgrund der Bedingungen an die Linearität klar. Alles weitere ergibt sich fast von selbst.

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