Partielle Ableitung & Lagrange

15.12.2010, 21:33

Fonsie

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Partielle Ableitung & Lagrange

Hallo,hab hier ein Problem mit folgender Aufgabe:

Student mit unstillbaren Appetit nach Schokolade. Es wird angenommen, dass der Nutzen, der aus dem Verzehr entsteht , der durch ein Cobb-Douglas Funktion beschrieben werden kann:

$\begin{eqnarray*} U(x1,x2) = x1^{0,5}x2^{0,5} \end{eqnarray*}$

Die Variablen x1 und x2 geben die Zahl der Schokoladenstücke weißer und schwarzer Schokoladenstücke an. Es wird unterstellt, dass die weiße Schokolade 0,04 € und die schwarze Schokolade 0,02 € pro Stück kosten. Der Student hat sich eine Obergrenze von 12 € für seine Schokoladenleidenschaft pro Semester gesetzt. Berechnen Sie den maximalen Nutzen. Interpretieren Sie den berechneten Lagrange-Multiplikator.

Soweit.

Meine Idee:

Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} L = x1^{0,5}x2^{0,5} \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} 0,04x1 + 0,02x2 = 12 \end{eqnarray*}$

Lagrangefunktion:

$\begin{eqnarray*} x1^{0,5}x2^{0,5} + \lambda (0,04x1+0,02x2-12) \end{eqnarray*}$

Jetzt partiell nach x1, x2 und lambda ableiten und gleich 0:

z`x1 = 0
z`x2 = 0
z`lambda = 0

Schon bei der partiellen Ableitung habe ich Probleme. Kann mir jemand weiterhelfen? Bueller? Die Klasse? Irgendjemand :-) Danke schonmal!

15.12.2010, 22:58

Cel

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Wo genau sind denn deine Probleme?

Nehmen wir mal den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x_1^{0,5} \cdot x_2^{0,5} \end{eqnarray*}$

Alles mit $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist bzgl. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ konstant, bleibt also beim Ableiten stehen. Die Ableitung von der Wurzelfunktion kennst du doch bestimmt.

Und $\begin{eqnarray*} 0,04 \lambda x_1 \end{eqnarray*}$ kann man bzgl. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ganz einfach ableiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2010, 23:12

Fonsie

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Danke ür Deine schnelle Antwort. Hab mir inzwischen selbst Gedanken gemacht:

$\begin{eqnarray*} z x1 = \frac{1}{2} x^\frac{-1}{2} - 0,04 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{0,5}{\sqrt{x} } -0,04 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,04 = \frac{0,5}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,04 * \sqrt{x} = 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \frac{0,5}{0,04} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12,5 = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1 = 156,25 \end{eqnarray*}$

Bei x2 habe ich 625 raus.

Kann das sein?

16.12.2010, 21:06

Cel

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Deine Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist falsch. Da muss vorne auch noch $\begin{eqnarray*} x_2^{0,5} \end{eqnarray*}$ schon stehen bleiben, schließlich ist es eine Konstante.

16.12.2010, 21:24

Fonsie

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Also zunächst muss ich doch die Klammer auflösen

$\begin{eqnarray*} x_1^{0,5}*x_2^{0,5} + 0,04 \lambda x_1 + 0,02\lambda x_2 -12\lambda \end{eqnarray*}$

Dann erstmal nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x_1^{\frac{-1}{2} } *x_2^{0,5} +0,04 \end{eqnarray*}$

Meinst Du so? Wenn ja - was macht dieses $\begin{eqnarray*} x_2^{0,5} \end{eqnarray*}$ denn da noch? Gut, es wird wie eine Konstante behandelt, aber warum ausgerechnet dieses und nicht etwa auch das $\begin{eqnarray*} 0,02\lambda x_2 \end{eqnarray*}$ beispielsweise?

16.12.2010, 21:27

Cel

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Zitat:

Original von Fonsie
Dann erstmal nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x_1^{\frac{-1}{2} } *x_2^{0,5} +0,04 \end{eqnarray*}$

Meinst Du so?

Fast. Richtig lautet es hinten $\begin{eqnarray*} 0,04 \lambda \end{eqnarray*}$

Das x_2 steht als Konstante in einer Multiplikation dort, dann bleibt es nach der Faktorregel stehen. Ebenso ist es mit dem Lambda. Hinten stehen einfach andere Konstanten, die aber gänzlich unabhängig von x_1 sind. Wenn eine Konstante abgeleitet wird, wird sie zur Null.

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16.12.2010, 21:33

Fonsie

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Okay. das seh ich ein. aber $\begin{eqnarray*} x_2^{0,5} \end{eqnarray*}$ hat doch auch nichts mit dem $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ zu tun, fällt aber scheinbar nicht weg.

16.12.2010, 22:22

Fonsie

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Doch! Es ist multiplikativ verknüpft! Jetzt versteh´ich! Danke. Wie geht es denn weiter? Jetzt die Ableitung 0 - setzen.

$\begin{eqnarray*} nach x_1: \frac{1}{2} x_1^{\frac{-1}{2} } *x_2^{0,5} +0,04 \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} nach x_2: x_1^{0,5} * 0,5 x_2^{-0,5} +0,02\lambda \end{eqnarray*}$

Aber wie geht das? Es soll für $\begin{eqnarray*} x_1 = 150 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x_2 = 300 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

16.12.2010, 23:24

mYthos

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Weshalb schreibts du einmal 0,5 und das andere Mal 1/2 für ein und dieselbe Zahl? Du solltest dich entscheiden! Im Allgemeinen sind Brüche besser als Dezimalzahlen.

Bringe bei beiden Gleichungen die Lambda-Glieder nach rechts und dividiere dann die erste durch die zweite Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_2}{x_1} = 2 \ \to \ x_2 = 2x_1 \end{eqnarray*}$

Mit diesem gehe nun in die Nebenbedingung ... und schon klappt's!

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

21.12.2010, 18:15

Fonsie

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Ich habe einmal 0,5 und einmal 1/2 geschrieben, weil ich mit dem Latexeditor nicht so recht umgehen kann..hab mich aber jetzt für die Schreibweise mit den Brüchen entschieden. Und so gehts weiter:

$\begin{eqnarray*} \left(x_1^{\frac{1}{2} } * \frac{1}{\frac{1}{2}x_1^{\frac{-1}{2} } }\right) * \left(\frac{1}{2} x_2^{\frac{-1}{2} } * \frac{1}{x_2^{\frac{1}{2} } }\right) = 0,5\lambda \end{eqnarray*}$

Ich weiss aber nicht, wie man Potenzen dividiert. Daher bringt mich Ihr Hinweis nur bedingt weiter. Oder kürzt man die einfach weg?

21.12.2010, 18:21

Fonsie

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Noch eine Idee, nur eine andere Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1^\frac{1}{2}*\frac{1}{2}x_2^\frac{-1}{2} = -0,02\lambda }{\frac{1}{2}x_1^\frac{-1}{2}*x_2^\frac{1}{2} = -0,04\lambda } \end{eqnarray*}$

Ist vielleicht übersichtlicher. Ich weiß aber immer noch nicht, wie die Division funktionieren soll.

22.12.2010, 00:57

mYthos

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Den Bruchstrich darfst du nicht über die ganze Gleichung ziehen, sondern dieser ist beim Gleichheitszeichen zu unterbrechen, sodass links und rechts jeweils ein Bruch zu stehen kommt.

Nun dividiere jeweils die linken und die rechten Seiten der unteren Gleichung durch die obere (Potenzregel!*):
Links kommt $\begin{eqnarray*} \frac {x_2}{x_1} \end{eqnarray*}$ und rechts wird es zu 2.

*) Im Zähler: $\begin{eqnarray*} x_2^{\frac 1 2} : x_2^{-\frac 1 2} = x_2^{(\frac 1 2 + \frac 1 2)} = \ldots \end{eqnarray*}$

Im Nenner analog ...

mY+

22.12.2010, 11:57

Fonsie

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Müsste es dann nicht wenigstens

$\begin{eqnarray*} x_2^\frac{1}{2} : \frac{1}{2} x_2^{-\frac 1 2 } \end{eqnarray*}$

heissen? was passiert denn mit den $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ davor? Werden die gekürzt?

Zitat:

Original von Fonsie
Noch eine Idee, nur eine andere Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1^\frac{1}{2}*\frac{1}{2}x_2^\frac{-1}{2} = -0,02\lambda }{\frac{1}{2}x_1^\frac{-1}{2}*x_2^\frac{1}{2} = -0,04\lambda } \end{eqnarray*}$

Ist vielleicht übersichtlicher. Ich weiß aber immer noch nicht, wie die Division funktionieren soll.

22.12.2010, 12:16

mYthos

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Die 1/2 stehen doch im Zähler UND im Nenner, also zuvor waren sie in beiden Gleichungen. Somit kürzen sie sich bei der Division.

Die 2 auf der rechten Seite ergeben sich aus 0,04/0,02

mY+

22.12.2010, 12:35

Fonsie

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$\begin{eqnarray*} \frac{x_1^{-\frac 1 2 } }{x_1^{\frac{1}{2} } } * \frac{x_2^{\frac 1 2 } }{x_2^{-\frac{1}{2} } } = 2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider immer noch nicht, wie Sie daraus

$\begin{eqnarray*} \frac {x_2}{x_1} = 2 \end{eqnarray*}$

machen. Aber ich bin ganz kurz davor.

Letztendlich soll $\begin{eqnarray*} x_1 = 150 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x_2 = 300 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

22.12.2010, 13:05

lgrizu

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Nutze einfach $\begin{eqnarray*} a^{-b}=\frac{1}{a^b} \end{eqnarray*}$ und forme damit deine Brüche um.

22.12.2010, 13:10

mYthos

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Potenzgesetze!

Zitat:

Original von mYthos
...
*) Im Zähler: $\begin{eqnarray*} x_2^{\frac 1 2} : x_2^{-\frac 1 2} = x_2^{(\frac 1 2 + \frac 1 2)} = \ldots \end{eqnarray*}$

Im Nenner analog ...

mY+

22.12.2010, 13:43

Fonsie

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Vielen Dank für die Hilfe bei dieser überaus schwierigen Geburt! # Mich hat fürchterlich verwirrt, was durch was zu teilen ist. Ich muss diese Aufgabe samt Ihrer Hilfe nochmal in Ruhe nachvollziehen. Danke!

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