Frage zum Limes

20.11.2006, 13:01

Airblader

Frage zum Limes

Hiho

Ich hätte mal 'ne Frage zur Grenzwertbestimmung.
Und zwar:

Gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} \Delta m = \frac{-2un-n^2}{u^4+2u^3n+u^2n^2} \end{eqnarray*}$

Es sind also zwei Variablen - u und n - enthalten.

Nun habe ich durch mehr oder weniger "Testen" rausbekommen, dass, wenn sowohl n als auch u gegen unendlich gehen, der Bruch 0 wird (Logisch, da Zähler und Nenner gegen unendlich gehen)

$\begin{eqnarray*} \lim_{u,n \to \infty} \Delta m = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings hänge ich dabei, wie ich den Limes einzeln für u bzw. n ausdrücken kann, da es ja in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable steht?

Wäre nett, wenn mir evtl. jemand helfen könnte, wie ich auf die Grenzwerte in dieser Abhängigkeit komme smile

air

20.11.2006, 13:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zum Limes

Zitat:

Original von Airblader
Nun habe ich durch mehr oder weniger "Testen" rausbekommen, dass, wenn sowohl n als auch u gegen unendlich gehen, der Bruch 0 wird (Logisch, da Zähler und Nenner gegen unendlich gehen)

Wo ist denn da ne Logik? verwirrt

In $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ gehen Zäher und Nenner gegen unendlich, aber die Folge läuft trotzdem nicht gegen Null.

Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} \lim_{u,n \to \infty} ... \end{eqnarray*}$

Bevor man konkrete Grenzwerte bestimmt, sollte man erstmal klären, wie ein Grenzwert mit 2 Variablen definiert ist.

20.11.2006, 13:19

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zum Limes

Zitat:

Bevor man konkrete Grenzwerte bestimmt, sollte man erstmal klären, wie ein Grenzwert mit 2 Variablen definiert ist.

Nun, zumindest in diesem Fall könnte man die eine Variable der anderen praktisch gleichsetzen, da beide gegen unendlich gehen sollen.
Dann wäre das Problem mit 2 Variablen übergangen (die Idee, das Kommasepariert zu schreiben kam von einem Freund).

Gut, die Argumentation, dass Zähler und Nenner gegen unendlich gehen (was übrigens nicht ganz stimmt, der Zähler geht gegen -unendlich) und der Bruch dadurch gegen 0, mag falsch sein.
Wenn ich so darüber nachdenke, ist es Schwachsinn. Wenn man schon falsch argumentieren will, müsste man sowieso sagen, es geht gegen 1.

Wie dem auch sei...Indem ich z.B. u=1, u=2, u=3, ... setze und jeweils den Limes für n->oo versuche herauszubekommen, so sieht das so aus, dass der Limes für n->oo für ein immer höheres u immer näher an 0 geht (so meinte ich es in etwa).

Das Problem ist, dass ich das Ganze mehr oder weniger experimentell bestimme, da ich nicht weiß, ob/wie ich den Grenzwert rechnerisch bestimmen kann (wir hatten Limes noch nicht).

air
Edit:
Man sieht übrigens mal wieder, dass man irgendwann die blödesten Fehler macht, wenn man zuviel am Stück macht *seufz*

20.11.2006, 14:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Nun, zumindest in diesem Fall könnte man die eine Variable der anderen praktisch gleichsetzen, da beide gegen unendlich gehen sollen.
Dann wäre das Problem mit 2 Variablen übergangen

Übergangen: Ja. Gelöst: Nein!!!

Nach dieser Logik wäre z.B. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{u,n\to\infty} ~ \frac{u}{n} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Das mindeste, was man aber von so einem Grenzwert bei dieser Schreibweise verlangen sollte ist, dass die Reihenfolge der Grenzwertbildung keine Rolle spielt, also

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{u\to\infty} \left[ \lim\limits_{n\to\infty} ~ f(u,n) \right] = \lim\limits_{n\to\infty} \left[ \lim\limits_{u\to\infty} ~ f(u,n) \right] \end{eqnarray*}$

gilt. Das geht beim Beispiel $\begin{eqnarray*} f(u,n) = \frac{u}{n} \end{eqnarray*}$ bereits voll gegen den Baum. Also solltest du klarsoweits Anmerkung durchaus ernst nehmen.

20.11.2006, 17:31

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, erscheint einleuchtend...Danke smile

Dann vergessen wir mal die Sache mit dem Limes für 2 Variablen.
Aber es ist doch wohl möglich, den Limes von n->oo in Abhängigkeit von u auszudrücken, oder? (Würde mich jedenfalls wundern, wenn nicht).

Die Frage ist, wie ich an diesen Limes kommen kann?

air
Edit:
Lege übrigens gerade eine größere Wertetabelle an und versuche, ob ich so zu einem Zusammenhang kommen kann

Edit2:
Wäre übrigens folgende Schreibweise dann korrekt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} \left(\lim_{n \to \infty} \Delta m \right) = 0 \end{eqnarray*}$

20.11.2006, 18:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Aber es ist doch wohl möglich, den Limes von n->oo in Abhängigkeit von u auszudrücken, oder? (Würde mich jedenfalls wundern, wenn nicht).

Die Frage ist, wie ich an diesen Limes kommen kann?

Indem du einfach für konstantes u das n gegen unendlich gehen läßt.

Zitat:

Original von Airblader
Wäre übrigens folgende Schreibweise dann korrekt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} \left(\lim_{n \to \infty} \Delta m \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Von mir aus.

20.11.2006, 21:16

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Indem du einfach für konstantes u das n gegen unendlich gehen läßt.

Naja, aber für ein anderes u wird eben auch der Grenzwert für n gegen unendlich anders, das ist ja der Haken dabei. Es muss ja wohl ein Zusammenhang zwischen u und dem Grenzwert für n gegen unendlich bestehen, oder?
Es sei denn, meine Testwerte sind noch zu klein und für anderes u nähert es sich nur unterschiedlich schnell dem selben Grenzwert an.
Als Beispiel:

für u=2 wird der Bruch für n=10^15 exakt -0,25
für u=5 wird der Bruch für n=10^15 genau -0,04.
Bei u=1.000.000.000 wird es schon -1 * 10^(-18), also ziemlich genau 0.
Wenn ich mir den Bruch so anschaue, wäre es fast logisch, dass u eig. nur Auswirkungen in der Richtung haben müsste, dass das ganze anders schnell gegen 0 geht.
Stimmt das?

Zitat:

Von mir aus.

Na dann ist ja gut Big Laugh

air

Edit:
Die Testwerte bestätigen sich auch mit noch viel höheren Werten für n. Könnte natürlich auch daran liegen, dass die Genauigkeit bei solchen Zahlen flöten geht...

21.11.2006, 09:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Naja, aber für ein anderes u wird eben auch der Grenzwert für n gegen unendlich anders, das ist ja der Haken dabei. Es muss ja wohl ein Zusammenhang zwischen u und dem Grenzwert für n gegen unendlich bestehen, oder?

Den wird es vermutlich geben. Und da sehe ich auch keinen Haken. Laß doch mal das n für festes u gegen unendlich gehen. Dann wirst du für verschiedene, aber jeweils festes u, verschiedene Grenzwerte erhalten.

21.11.2006, 13:13

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hatte ich ja schon gemacht.
Aber ich wollte ja den Zusammenhang mit u rausbekommen

...und das hab ich heut in einer Hohlstunde auch geschafft Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \Delta m = -1 * 10^{-2\log u} \end{eqnarray*}$

Außerdem:

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} \Delta m = 0n = 0 \end{eqnarray*}$

Danke übrigens smile

Hab so einiges an Irrglauben loswerden können und bin (denke ich) auf die richtige Lösung gekommen.

air
Edit:
Falls es jmd interessiert:
Auf die Lösung für n->oo bin ich gekommen, indem ich vor allem für 10er-Potenzen (also 10, 100, 1000, 10000, ...) als u den Grenzwert für n berechnet habe.
Dieser war dann immer so, dass -2 * Anzahl der Nullen von u (also der 10er-Potenz) der Exponent für -1 * 10^x war.
Die Anzahl der Nullen ist eben der (10er-)Logarithmus von u, das mal -2 und eben als Potenz.
Mit nicht-10er-Potenzen geht es natürlich dann ja auch so (die 10er-Potenzen waren nur einfacher zu Durchschauen).
Als Testwerte für Nicht-10er-Potenzen habe ich 1, 2, 3, 4 und 5 und für alle stimmt das Ergebnis genauso smile

.
Insgesamt habe ich 10 Testwerte für u genommen.

Was ich mich frage: Wie könnte man beweisen, dass es wirklich für alle Zahlen gilt?

21.11.2006, 14:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \Delta m = -1 * 10^{-2\log u} \end{eqnarray*}$

Hmm. Ein bißchen komplizierte Darstellung für u:
$\begin{eqnarray*} 10^{-2\log u} = \frac{1}{u^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Airblader
Falls es jmd interessiert:
Auf die Lösung für n->oo bin ich gekommen, indem ich vor allem für 10er-Potenzen (also 10, 100, 1000, 10000, ...) als u den Grenzwert für n berechnet habe.
...
Was ich mich frage: Wie könnte man beweisen, dass es wirklich für alle Zahlen gilt?

Forme geeignet um, indem du durch n^2 kürzt::
$\begin{eqnarray*} \frac{-2un-n^2}{u^4+2u^3n+u^2n^2} = \frac{-2u/n-1}{u^4/n^2+2u^3/n+u^2} \end{eqnarray*}$
Und jetzt n gegen unendlich laufen lassen. Fertig.

21.11.2006, 16:39

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja, die Darstellung...*hust* Naja, dafür war es zu früh und nicht genug Zeit *rausred* Augenzwinkern

Edit: Moment...bin doch nicht ganz sicher. Wie kommst du auf die Umformung? (bin wohl grad nicht ganz bei der Sache..)

Edit2: Gut, lass ich n gg. oo laufen, so kommt -1/u² raus (bzw. -u^(-2))...aber die Umformung von der Log.version versteh ich grad nicht

Zum 2.:
Mhm, auf die Idee hätte ich kommen können, wo es doch praktisch die selbe Idee ist, die wir in Mathe grad benutzt haben um zu zeigen, dass der 1. Summand bei ganzrat. Fkt. für rel. große x ausschalggebend ist...und da war ich doch in ner Millisekunde draufgekommen Big Laugh

Aber vielen Dank smile

air

21.11.2006, 18:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 10^{-2\log u} = \left(10^{log(u)}\right)^{-2} = u^{-2} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

21.11.2006, 18:53

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

*dong*
Das tut weh....ich hab Potenzgesetze nie gemocht Big Laugh

Naja, Danke, jetzt isses klar (und nochmal: *seufz* Big Laugh

)

Da sieht man mal wieder, warum solche Boards beliebt sind und lang leben Freude