Erwartungswert

16.12.2010, 10:03

Erwartungswert

Erwartungswert

Kann mir jemand helfen wie ich beweisen kann, dass der erwartungswert auch durch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (X \geq n) \end{eqnarray*}$
dargestellt werden kann, wenn es sich bei X um eine Zufallszahl (1,2,3,...) handelt

16.12.2010, 10:41

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \mathbb P (X\geq n) \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn die "normale" Definition des Erwartungswertes (EDIT: einer diskret auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ verteilten ZG)?
Du musst dann versuchen, die eine in die andere Form umzuschreiben.

16.12.2010, 10:46

Erwartungswert

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum x_{i} P(X=x_{i}) \end{eqnarray*}$

jewoch weiß ich nicht wie ichs umformen soll

16.12.2010, 11:03

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier um diskrete Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die nur nichtnegative ganze Zahlen annehmen können. Für diese Zufalssgrößen gilt

$\begin{eqnarray*} P(X\geq n) = \sum_{k=n}^{\infty} P(X=k) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. es gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(X\geq n) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty} P(X=k) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt vertausche einfach mal die Summationsreihenfolge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ - was man hier bedenkenlos machen kann, da alle Summanden $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ nichtnegativ sind - und schau, was passiert. Augenzwinkern

16.12.2010, 13:20

Erwartungswert

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^\infty \sum\limits_{n=1}^\infty P(X=k) \end{eqnarray*}$

aber wieso bringt mich das weiter?

16.12.2010, 13:23

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Erwartungswert
Dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^\infty \sum\limits_{n=1}^\infty P(X=k) \end{eqnarray*}$

aber wieso bringt mich das weiter?

Das bringt dich gar nicht weiter, weil es falsch ist...

Wenn du die Summenzeichen vertauschst, dann musst du auch die zugehörigen Indizes umschreiben

Schreib die Summanden mal einzeln hin, dann siehst du was gemeint ist

16.12.2010, 13:51

Erwartungswert

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau wie ich das machen soll verwirrt

16.12.2010, 13:53

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Erwartungswert
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^\infty \sum\limits_{n=1}^\infty \end{eqnarray*}$

Das jemand noch in die Falle tappt... unglücklich

Wie es richtig geht: Indexverschiebung Summen , nur hier nicht mit endlichem oberen Index, sondern $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

16.12.2010, 15:56

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Erwartungswert
Ich weiß nicht genau wie ich das machen soll verwirrt

Dann zeig die Aussage erstmal fuer n=2,3... indem du ALLE Summanden ausschreibst und umformst, der "unendliche" Fall geht genauso

16.12.2010, 16:16

Erwartungswert

Auf diesen Beitrag antworten »

So:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{n=1}^k \end{eqnarray*}$
?

16.12.2010, 17:49

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Erwartungswert
So:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{n=1}^k \end{eqnarray*}$
?

Nein, auch nicht... n ist fest und k ist variabel, und es ist noch ein weiterer Fehler dabei

Ich habe in meinem vorherigen Beitrag geschrieben wie du anfangen sollst, wenn du das in deinem nächsten Beitrag wieder kommentarlos ignorierst dann breche ich meine Hilfe hier ab..

16.12.2010, 18:33

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich dir widersprechen: Die Umformung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^k P(X=k) \end{eqnarray*}$

ist durchaus richtig: Es wird über alle positiven natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\leq k \end{eqnarray*}$ summiert, und je nachdem welche der beiden Indizes man festhält (äußere Summation) ergibt sich der Bereich für den anderen Index (innere Summation). Für visuell veranlagte Menschen habe ich ja bereits den obigen Link angebracht. Augenzwinkern

Zum Abschluss kann man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^k P(X=k) \end{eqnarray*}$ nun auch noch vereinfachen, denn der Summand hängt hier ja gar nicht vom Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab, also ergibt sich...

16.12.2010, 19:20

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
Da muss ich dir widersprechen: Die Umformung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^k P(X=k) \end{eqnarray*}$

ist durchaus richtig: Es wird über alle positiven natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\leq k \end{eqnarray*}$ summiert, und je nachdem welche der beiden Indizes man festhält (äußere Summation) ergibt sich der Bereich für den anderen Index (innere Summation).

Ja, diese Umformung ist richtig... er hatte oben nur nicht den kompletten Term angegeben, von daher habe ich angenommen, er wolle über P(X=n) summieren...

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert

Verwandte Themen