Partialbruchzerlegung mittles Limes

16.12.2010, 12:16

fre4k

Partialbruchzerlegung mittles Limes

Hallo

Ich komme bei den einem Bsp. nicht weiter unglücklich

Man soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ bringen. Danach mittels der Limesmethode die Partialbruchzerlegung durchführen.

Kommt bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x+1}{(x+1)^{2}(x-1)} \end{eqnarray*}$

so ich hab gelesen die Limes Methode kann man nur bei linearen Linearfaktoren verwendet werden also fällt das flach für das $\begin{eqnarray*} (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$ und ich kann nur die anderen zwei machen.

also versuch ichs fürs B

da muss ich ja dann beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ multiplizieren.
dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} \frac{2x^{2}+3x+1}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x \to -1} \frac{1}{x+1}+b+\frac{x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Dann geht ja der eine Bruch beim Limesziehen gegen 0 ?

Wo ist da der Fehler ?

mfg

16.12.2010, 15:33

metriod

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RE: Partialbruchzerlegung mittles Limes
Ich denke die Partialbruchzerlegung habe ich so einigermaßen drauf, deswegen versuch ich mal dir zu helfen.

Zitat:

Original von fre4k
Man soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ bringen. Danach mittels der Limesmethode die Partialbruchzerlegung durchführen.

Kommt bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x+1}{(x+1)^{2}(x-1)} \end{eqnarray*}$

Knapp daneben, versuchs erneut.

Richtigerweise sollte das rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x-1}{(x+1)^2(x-1)} \end{eqnarray*}$

Du solltest die PBZ klar aufschreiben, damit es leichter nachvollziehbar ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x-1}{(x+1)^2(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von fre4k
so ich hab gelesen die Limes Methode kann man nur bei linearen Linearfaktoren verwendet werden also fällt das flach für das $\begin{eqnarray*} (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$ und ich kann nur die anderen zwei machen.

also versuch ichs fürs B

da muss ich ja dann beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Nein, sondern mit $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ so, wie es im Nenner steht.
Somit kannst du den Wert von B ausrechnen für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} \end{eqnarray*}$ .
Sobald du diesen Wert hast, kannst du den "B-Bruch" auf die linke Seite und auf gleichen Nenner bringen.

Nun könntest du noch C ausrechnen mit derselben Vorgehensweise.
Bei A wirst du Probleme kriegen, weil der Nenner 0 werden wird.

Daher tust du den linken Zähler durch $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ dividieren, also eine Polynomdivision durchführen.

Das Ergebnis ist dann dein neuer Zähler, im Nenner hast du dann nur noch (x+1)*(x-1) stehen und kannst somit A berechnen...

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