Oberflächenintegral

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16.12.2010, 13:36	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegral Berechnen sie für einen Zylinder mit Radius R und Höhe H das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} \int_A \! dA \end{eqnarray}$ (i) für die Mantelfläche und (ii) für die Bodenfläche Ansatz: wie ich das nun integral löse weiß ich nicht genau ich weiß aber das die Mantelfläche eines Zylinders M=2pirh ist und das die Bodefläche r²pi sein sollte. was habe ich nun noch zu tun?
16.12.2010, 13:40	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür brauchst du eine Parametrisierung des Zylinders. Kennst du eine? Die x- und y- Werte liegen auf Kreisen, z läuft von 0 bis zur Höhe ... Hmmmm ... $\begin{eqnarray} A = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \| ... \} \end{eqnarray}$ Was steht hinter dem senkrechten Strich? Edit: Fang am besten mit (ii) an. Wie lautet denn eine Parametrisierung des Kreises mit Radius R, am besten in Polarkoordinaten?
16.12.2010, 13:47	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
also das integral zur höhe is von 0 bis h nehme ich an und die höhe wird ja auch für die mantelfläche benötigt in diesem fall is die höhe z x und y müsste dann iwie 2pir sein oder so?
16.12.2010, 13:51	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchtest du mit (ii) oder mit (i) anfangen? Ist mir egal, aber wie gesagt, (ii) wäre einfacher. Was du nun schreibst, gibt keinen Sinn. x und y liegen auf Kreisscheiben und die haben den angegebenen Umfang, ja, aber das hilft dir mit dem Oberflächenintegral nicht weiter. Fang mit (ii) an und gib eine Parametrisierung eines Kreises mit Radius R in Polarkoordinaten an. Das steht bei dir im Skript oder auf Wikipedia.
16.12.2010, 13:59	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei wikipedia steht $\begin{eqnarray} k=\left\{ x\in E \| MX=r \right\} \end{eqnarray}$
16.12.2010, 14:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nicht die erstbeste Formel nehmen, die dir unter die Fittiche kommt. Die hat hier überhaupt keinen Sinn. Hier wäre das passende.
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16.12.2010, 14:06	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
ach sowas meinst du okay also haben wir jetzt x=cosphi und y=sinphi und xm und ym sind ja null in dieser betrachtung. wie nutze ich das nun für das integral? also wo sollen die integrationsgrenzen sein? oder vllt null bis 2pi ?
16.12.2010, 14:28	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nur fast. Vor den Sinus bzw. Cosinus gehört ein r, schließlich betrachten wir nicht den Einheitskreis. Damit wir das noch mal sauber da stehen haben. Den Kreis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ parametrisieren wir so: $\begin{eqnarray} B = \{\underbrace{(r \cdot \cos(\varphi), r \cdot \sin(\varphi),0)}_{=: x(\varphi, r)} \, \| \, \varphi \in (0, 2 \pi), \, r \in (0,R)\} \end{eqnarray}$ Dies ist eine dreidimensionale Fläche. Und du sollst nun den Oberflächeninhalt dieses Kreises im IR³ berechnen. Jetzt musst du die Fläche anhand der Definition des Oberflächenintegrals berechnen. Leite dazu das x nach Phi und nach r ab und bilde das Kreuzprodukt, anschließend die Norm.
16.12.2010, 14:38	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ich dachte ihc soll das mit einem integral lösen warum soll ich dafür ableiten?
16.12.2010, 14:39	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist das Oberflächenintegral bei dir denn definiert?
16.12.2010, 14:49	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} r(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für fläche A im Raum also wie habe ich das denn dann jetzt zu nutzen? in der aufgabe steht über integral im skript steht das was ich gerade gepostet habe^^ und bei integralen muss man ja aufleiten...
16.12.2010, 17:10	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine PN, fikus. Schau mal in dein Postfach.
16.12.2010, 17:22	fikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Mantelfläche habe ich jetzt: $\begin{eqnarray} \int_0^H \! 2\pi Rdz = 2\pi RH \end{eqnarray}$ Und für die Bodenfläche habe ich: $\begin{eqnarray} \int_0^R \! \int_0^2\! Rd\alpha dR = \int_0^R \! 2\pi RdR = \pi R² \end{eqnarray}$ beim inneren Integral soll es bis $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ gehen.
16.12.2010, 17:31	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mag zwar stimmen, aber wie du jetzt darauf kommst, ist mir nicht klar. Die Definition eines Oberfrlächenintegrals hast du nicht angegeben. Für meine Berechnung benötigt man die Norm des Kreuzproduktes von den beiden partiellen Ableitungen und über die integriert man dann. Das alles kann ich aber bei dir nicht erkennen.

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