Fouriertransformation, Faltungssatz

16.12.2010, 14:33	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation, Faltungssatz Hi Leute, ich habe zu einer Aufgabe eine Frage... Es soll gelten ff: Ich soll die Fouriertransformierte von f bestimmen: $\begin{eqnarray} f_{(t)}:=\frac{1}{1+t^2} , -\infty <t<\infty \end{eqnarray}$ Der Faltungssatz lautet ja: $\begin{eqnarray} ff(t):=\int_{-\infty} ^\infty \! f(t-y)f(y) \, dy \end{eqnarray}$ Ich denke, dass ich mit einer Substitution weiterkomme... t-y=s, ds=-dy, t=s+y Dann käme ja raus: $\begin{eqnarray} \int_\infty ^{-\infty } \! \frac{1}{1+s^2}\frac{1}{1+(s+y)^2} \, ds \end{eqnarray*}$ Irgendjemand eine Idee???
16.12.2010, 22:06	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Tach Leute... Ich glaube, ich hab's hinbekommen. Brauche nur noch Rücklauf, ob es richtig ist.... Es muss lauten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+t^2} \int_{-\infty }^\infty \! \frac{1}{1+s^2} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+t^2} (Arctan(\infty) -Arctan(-\infty )) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+t^2} \left(\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2} \right) \right)=\frac{\pi }{1+t^2} \end{eqnarray}$ Der nächste Schritt wäre dann die Rücksubstitution
16.12.2010, 22:15	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, im ersten Post wurde falsch substituiert. Im 2ten auch. Welche Formel gibt es für die Fouriertransformierte von gefalteten Funktionen? Wende diese doch einfach an, sollte einfacher sein
17.12.2010, 23:29	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, du siehst, dass ich mit Faltungen nicht zurechtkomme. Das einzige, was ich aus dem Skript erkennen kann, ist folgende Funktion: $\begin{eqnarray} ff(t):=\int_{-\infty} ^\infty \! f(t-y)f(y) \, dy \end{eqnarray}$ Nur weiß ich nicht, was die aussagt und wie es nun weitergeht. Was ich noch weiß, ist, dass eine Faltung eine Integralkombination zweier Originalfunktionen ist $\begin{eqnarray} f(t)=\int_{-\infty }^t \! f_1(u)* f_2(t-u) \, du \end{eqnarray}$ Ferner gilt noch $\begin{eqnarray} F[f](\omega)F[g](\omega)=F[fg](\omega) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F[f]F[g]=F[fg] \end{eqnarray*}$ Kannst du mir das bitte in einfachen Worten erklären, damit ich mir darunter was vorstellen kann? Gruß Dalice66
18.12.2010, 14:16	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag, Was die Faltung aussagt, naja dazu würde ich dich auf Wikipedia und andere Quellen verweisen, da gab es mal so schöne Bilder. mit einer Faltung kann man die Ausgangsfunktion in der Regel ziehmlich gut glätten. Genauso sieht es auch mit der Fouiertransformation aus. Funktionen die besonders "klein im Unendlichen" sind, werden nach der Transformation besonders glatt (differenzierbar) usw. jetzt hast du $\begin{eqnarray} f(t) = \frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray}$ gegeben. Mit der von dir angegebenen Formel erhalten wir: $\begin{eqnarray} <br /> F(ff)(u) = F(f)(u) F(f)(u)<br /> \end{eqnarray}$ Also reicht es doch nur noch: $\begin{eqnarray} F(f)(u) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+t^2}e^{-itu}dt \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Das kannst du ja als gewöhnliches Integral berechnen. Beachte, dass beim Integrieren das u nur die Rolle einer Konstanten spielt. mfg Edit: Das mit dem gewohnten Integrieren nehm ich zurück. Es scheint ja keine gute Stammfunktion zu geben. Entweder ihr habt dieses Integral in der Vorlesung behandelt oder keine Ahnung, ich muss weg
30.12.2010, 21:28	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe mich nochmal rangesetzt und habe meine Substitution nochmal durchgerechnet. Ich drehe mich damit im Kreis und komme nicht wirklich weiter. Ein neuer Ansatz wäre die Laplacetransformation. Ginge das nicht?. Die Integrationsgrenzen ändern sich natürlich zu 0-unendlich... Wäre für jede Hilfe dankbar.
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