Dezimalbruchentwicklung Konvergenz

16.12.2010, 15:21	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalbruchentwicklung Konvergenz Es wird jeder reellen Zahl x, $\begin{eqnarray} 0\leq x<10 \end{eqnarray}$ die Dezimaldarstellung $\begin{eqnarray} \left(n_{0}, n_{1},...\right) \end{eqnarray}$ gemäß: $\begin{eqnarray} n_{0} := \lfloor{x}\rfloor \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} r_{0} := \left\{ x\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n_{i} := \lfloor {10r_{i-1}}\rfloor \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} r_{i} := \left\{ 10r_{i-1}\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ (1) zugeordnet. Es wurde gezeigt, dass die dieser Darstellung zugeordnete Folge $\begin{eqnarray} a_{m} := \sum\limits_{i=0}^m n_{i} 10^{-i} \left(m\in \mathbb N _{0}\right) \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist. Weisen Sie nach, dass $\begin{eqnarray} \left(a_{m}\right) _{m\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ gegen x konvergiert. Existiert eine reelle Zahl x mit der Dezimaldarstellung (0,9,9,9...) gemäß obiger Definition (1) ? Beweisen Sie ihre Aussage. Also das ist meine Aufgabe und ich habe keinen blassen Schimmer. Man kann von der Folge n_0 rausziehen und den unteren Summationsindex zu i machen.....in diversen Büchern habe ich auch eine ähnliche induktive Beweisführung gesehen die mir allerdings zu komplex erschien, da ich ja bereits weiß dass diese Folge eine Cauchyfolge ist.....wie gehe ich also vor?
16.12.2010, 15:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Du musst die Konvergenz zeigen. Betrachte dazu $\begin{eqnarray} \epsilon_n = \frac{1}{10^n} \end{eqnarray}$ . Beispielsweise $\begin{eqnarray} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ , dann ist mit $\begin{eqnarray} N = 2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n > N \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \left\|x - a_n\right\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ . Warum ist das so ? Dies ist der Entscheidende Schritt, der dann natürlich verallgemeinert werden muss.
16.12.2010, 16:12	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\|x - a_n\right\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ heißt dass ich kann damit einfach losrechnen und $\begin{eqnarray} \epsilon_n = \frac{1}{10^n} \end{eqnarray}$ . als Verallgemeinerung bereits vorher annehmen??
16.12.2010, 16:42	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
1/10^-m geht gegen Null da 10>1 ......also auch kleiner gleich der Folge....aber wie arbeite ich damit?
16.12.2010, 16:59	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
oder wie komme ich auf 10^-m?
16.12.2010, 17:30	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist alles induktiv über die Ungleichung 0 kleinergleich x kleienr 10 zu lösen?
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20.12.2010, 18:13	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man sagen: $\begin{eqnarray} \left \lvert a_m - x \right \rvert = \left \lvert \sum_{i=0}^m n_i 10^{-i} - \sum_{i=0}^{\infty} n_i 10^{-i} \right \rvert = \left \lvert - \sum_{i=m+1}^{\infty} n_i10^{-i} \right \rvert = \sum_{i=m+1}^{\infty} n_i10^{-i} < 10^{-m} = \epsilon \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} N(\epsilon) = - lg(\epsilon) \end{eqnarray}$ Kann man das so machen? Und wie sieht das jetzt mit der 2. Aufgabe aus mit den 0,999999...
21.12.2010, 10:08	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also zunächst einmal ist der massive Einsatz von Smileys nicht förderlich, eher das Gegenteilige dürfte passieren. @ Alex : Genau so gehts. Du musst nur noch Begründen warum $\begin{eqnarray} \varepsilon_n = 10^{-n} \end{eqnarray}$ ausreicht. Für die Konvergenz muss man ja jedes beliebige Epsilon wählen können. Dieser Schritt ist aber leicht. Was die 0.99... angeht, schreibe diese Zahl doch mal als Reihe!

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