Variation zur Fibonacci-Folge

16.12.2010, 15:55

darren17

Variation zur Fibonacci-Folge

Meine Frage:
Hi,
mir ist die rekursive Folge $\begin{eqnarray*} a_{k+1} =a_{k} +a_{k-2} \end{eqnarray*}$ mit a1=a2=a3=1 gegeben und ich soll nun eine explizite Formeldarstellung erstellen.
Leider weis ich nicht wie ich das machen soll...

Meine Ideen:
Ich hab mir gedacht, dass man das so umstellen müsste bis man die explizite Formel der Fibonacci Folge nutzen kann...

16.12.2010, 19:57

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Kennst du dich mit formalen Potenzreihen aus? Das wäre eine Möglichkeit.

Wink

16.12.2010, 20:00

darren17

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmmm
nein leider nicht...ich such mal ob ich was dazu in meinem buch finde danke für den tipp

16.12.2010, 20:10

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du dich ein bisschen mit (gewöhnlichen) Differentialgleichungen aus?
Deine Differenzengleichungen ist da recht ähnlich - vor allem was Lösungsräume betrifft.

16.12.2010, 20:16

darren17

Auf diesen Beitrag antworten »

...
aber wie kann ich damit den eine explizite formel aufstellen...ich steh total auf dem schlauch...

16.12.2010, 20:19

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Cugu: Könntest du mal ein bisschen ausführen, an was du da gedacht hast? Wüsste nämlich nicht, wie man hier Diffgleichungen benutzen kann (würde mich interessieren Freude

16.12.2010, 20:38

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu dem Zeitpunkt hatte ich noch nicht die Nullstellen des charakteritischen Polynomes berechnet...
Numerisch wäre das egal, aber von Hand...

Naja, wenn man eine Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m{s_ia_{k+i}}=0 \end{eqnarray*}$ hat, dann entspricht das mehr oder weniger einer Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m{s_iu^{(i)}}=0 \end{eqnarray*}$ .

Ein Fundamentalsystem der Lösungen erhält man jeweils mit Hilfe der Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Nur sind die Lösungen bei den Differenzengleichungen nicht $\begin{eqnarray*} e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ .
(Bei mehrfachen Nullstellen entsprechend $\begin{eqnarray*} k\cdot (k-1)\cdot...\cdot (k-\nu+1)\cdot \lambda ^{k-\nu} \end{eqnarray*}$ ).
Die Lösungen bilden einen linearen Raum. Die gewünschte Lösung (eine Linearkombination der Lösungen des Fundamentalsystems) zu den Anfangsdaten erhält man dann durch Lösen eines Gleichungssystems.

17.12.2010, 00:56

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will den Thread hier nicht hijacken, aber vermutlich hilft es dem Fragesteller ja auch weiter:

Zitat:

Naja, wenn man eine Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m{s_ia_{k+i}}=0 \end{eqnarray*}$ hat, dann entspricht das mehr oder weniger einer Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m{s_iu^{(i)}}=0 \end{eqnarray*}$ .

Inwiefern entspricht ersteres zweiterem? Und wie hilft einem die Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m{s_ia_{k+i}}=0 \end{eqnarray*}$ beim lösen der ursprünglichen Aufgabe, eine explizite Darstellung der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu finden?

Gruss, Wink

17.12.2010, 01:33

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das was da oben steht ist doch eine Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} a_{k+3} + (-1) \cdot a_{k+2} + (-1) \cdot a_{k}=0 \end{eqnarray*}$ mit Anfangswerten $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=a_3=1 \end{eqnarray*}$ .
Zumindest verstehe ich die Aufgabe so. Das ist bei der Fibonacci-Folge insbesondere nicht anders.

Gut, was heißt entspricht, aber eine Analogie ist doch vorhanden. Zum Beispiel stimmen die Struktur des Lösungsraums und das charakteristisches Polynom überein.
Wenn man geübt darin ist, lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu lösen, dann sagen einem die Begriffe wie charakteristisches Polynom und Fundamentalsystem etwas. Außerdem weiß man wie man aus den Anfangswerten und der allgemeinen Lösung die gesuchte Lösung berechnen kann. (Die meisten Beweise gehen übrigens auch ziemlich analog.) Dann benötigt man eigentlich nur noch den Tipp, dass das Fundamentalsystem die Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda_1^k,\lambda_3^k,\lambda_2^k \end{eqnarray*}$ enthält, wobei dies die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind.

17.12.2010, 03:27

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt seh' ich wie du das meinst. Ist ne nette Idee. smile

(letztendlich läuft's wohl aufs selbe hinaus wie der Ansatz mit formalen Potenzreihen, wenn man die Taylorreihen der Lösungen anschaut)

Neue Frage »

Antworten »

Variation zur Fibonacci-Folge

Verwandte Themen