Summenbeweis

20.11.2006, 15:04	itchy00	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenbeweis Hi, ich soll zeigen dass: $\begin{eqnarray} x_n := (1+\frac{1}{n})^n = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!} \end{eqnarray}$ (k muss eigentlich bei 1 anfangen, oder?) oder anders: $\begin{eqnarray} \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{\prod \limits_{l=0}^{n} (1-\frac{l}{n})} {k!} \end{eqnarray}$ nach umformen komme ich dahin, dass ich nur noch zeigen muss: $\begin{eqnarray} \prod \limits_{l=0}^{k-1} (1-\frac{l}{n}) = \frac{n!}{(n-k)!n^k} \end{eqnarray*}$ aber wie mach ich dass
20.11.2006, 15:52	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
n über k kannst du so machen: $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ \binom{n}{k}
20.11.2006, 16:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Produkt $\begin{eqnarray} \prod \limits_{l=0}^{k-1} \left( 1-\frac{l}{n} \right) \end{eqnarray}$ besteht aus genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Faktoren. Aus jedem davon kannst du den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ herausziehen, das ergibt $\begin{eqnarray} \prod \limits_{l=0}^{k-1} \left( 1-\frac{l}{n} \right) = \frac{1}{n^k} \prod \limits_{l=0}^{k-1} (n-l) \end{eqnarray}$ Klar, wie's weitergeht?
20.11.2006, 19:44	inf1nity	Auf diesen Beitrag antworten »
Nabend, ich habe die selbe Aufgabe gerade zu lösen. Bin selbst bis dahin gekommen scheitere jedoch deine letzte Zeile fertig umzustellen Würde mich freuen über einen kleinen Stupser in Richtung der Lösung Gruß inf1nity
20.11.2006, 19:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Faktoren umfasst denn das letzte Produkt? Durch Umindizierung $\begin{eqnarray} n-l =: j \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} \prod \limits_{l=0}^{k-1} (n-l) = \prod \limits_{j=n-k+1}^n ~ j \end{eqnarray}$ Fällt jetzt der Groschen?

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