Testvorbereitung #2 - Diverses zu Funktionen

16.12.2010, 18:37

metriod

Testvorbereitung #2 - Diverses zu Funktionen

Gegeben ist die rationale Funktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^3+6x^2-11x+6}{x^3+15x^2+74x+120} \end{eqnarray*}$

Ich soll das Verhalten bei $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ untersuchen.

$\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$
Kann ich nun x^3 jeweils im Zähler und Nenner herausheben und kürzen?
Dann würde übrig bleiben $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{1}=1 \end{eqnarray*}$ ?

Bei $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ würde ich wieder auf 1 kommen?

Andere Betrachtung:
Zähler und Nenner haben den gleichen Grad, auch der Betrag der Koeffizienten ist gleich.
Daher würde ich mir den zweit höchsten Grad x^2 anschauen, hier ist die Nennerkoeffizient größer als der Zählerkoeffizient. Daher wächst der Nenner schneller als der Zähler? Ergo das die Funktion geht bei $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ gegen 0?
Wobei hier wohl das - bei x^3 wohl Probleme macht?

16.12.2010, 18:41

lgrizu

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RE: Testvorbereitung #2 - Diverses zu Funktionen
Führe zuerst eine Polynomdivision durch und betrachte den Rest.

16.12.2010, 19:23

metriod

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Führe ich diese durch weil Zähler und Nenner Grad gleich sind?

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^3+6x^2-11x+6}{x^3+15x^2+74x+120} = -1 + \frac{21x^2+63x+114}{x^3+15x^2+74x+120} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{21x^2+63x+114}{x^3+15x^2+74x+120} \end{eqnarray*}$
Tu ich nun x herausheben erhalte 0/1=0.

Scheint plausibel, denn der Nenner wächst schneller als der Zähler, also gehts gegen 0?

Danke!...

16.12.2010, 19:25

lgrizu

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Das ist richtig, dein Rest geht gegen 0, also wo gegen geht die Funktion?

16.12.2010, 20:00

metriod

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-1

für -unendlich und + unendlich kommt daher ja dasselbe Ergebnis raus?

16.12.2010, 20:05

lgrizu

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jap, ist richtig.

16.12.2010, 20:07

metriod

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Deine Antwort kam zu früh, habs noch ein wenig editiert Big Laugh

Ist es grundsätzlich immer so, dass für + und - unendlich derselbe Wert rauskommt? Kann ja nicht sein, aber mit der Methode, dass man x heraushebt, kann es meiner Meinung nach nur der selbe Wert sein, der rauskommt?

16.12.2010, 20:18

lgrizu

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Nein, dass ist nicht zwangsläufig so, schau dir zum Beispiel mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ an:

, diese verläuft entlang ihrer Asymptote in verschiedene Richtungen.

Edit2: Oh Mann, Rechtschreibung will gelernt sein....

16.12.2010, 20:44

metriod

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ an:
Polynomdivision:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(x-1)}= x +\frac{x}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

Erneute Polynomdivision beim Rest
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x-1)} = 1 +\frac{1}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } x+1+\frac{1}{(x-1)} = + unendlich + 1 + 0 = +unendlich \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x+1+\frac{1}{(x-1)} = - unendlich + 1 - 0 = -unendlich \end{eqnarray*}$

verwirrt

Zitat:

Original von lgrizu

sorry, ganz vergessen, auf deine eigentlich Frage einzugehen, gegen unendlich gehen deine Funktionswerte gegen 0, aber x gegen -unendlich gehen die Funktionwerte gegen -1.

Sorry, das kann ich nicht nachvollziehen. Was hast du betrachtet um auf diesen Schluss zu kommen?

16.12.2010, 20:55

lgrizu

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Vergiss es, ist alles richtig, die Asymptote ist (-1)

Edit: ich bin heute echt nicht ganz auf dem Damm, ständig Flüchtigkeitsfehler....

16.12.2010, 21:14

metriod

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Selbst die Besten erwischen mal einen schlechten Tag Augenzwinkern

Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ an:
Polynomdivision:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(x-1)}= x +\frac{x}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

Erneute Polynomdivision beim Rest
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x-1)} = 1 +\frac{1}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } x+1+\frac{1}{(x-1)} = + unendlich + 1 + 0 = +unendlich \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x+1+\frac{1}{(x-1)} = - unendlich + 1 - 0 = -unendlich \end{eqnarray*}$

verwirrt

Stimmt das so?

Was wäre denn gewesen, wenn ich bei
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ nur x heraushebe?
Dann bleibt ja übrig:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1-\frac{1}{x} )} \end{eqnarray*}$
Diesfalls würde der Nenner ja für +unendlich, aber auch für -unendlich gleich 1 sein.

Für +unendlich geht die Funktion dann gegen +unendlich
Für -unendlich geht die Funktion dann gegen -unendlich

Was ja auch mit dem übereinstimmt, das im Quote steht?...

Danke!

16.12.2010, 21:24

lgrizu

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Zitat:

Original von metriod
Selbst die Besten erwischen mal einen schlechten Tag Augenzwinkern

Zitat:

Stimmt das so?

ja, stimmt so.

Zitat:

Original von metriod
Was wäre denn gewesen, wenn ich bei
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ nur x heraushebe?
Dann bleibt ja übrig:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1-\frac{1}{x} )} \end{eqnarray*}$
Diesfalls würde der Zähler ja für +unendlich, aber auch für -unendlich gleich 1 sein.

Der Zähler geht doch gegen +/-unendlich für x gegen +/-unendlich, der Nenner geht gegen 1.....

Zitat:

Original von metriod
Für +unendlich geht die Funktion dann gegen +unendlich
Für -unendlich geht die Funktion dann gegen -unendlich

Was ja auch mit dem übereinstimmt, das im Quote steht?...

Danke!

Du solltest die Polynomdivision so weit führen, wie es möglich ist, das liefert dir dann gleich die Asymptote, also die Funktion, der sich die gebrochenrationale Funktion annähert Augenzwinkern

16.12.2010, 21:29

metriod

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Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von metriod

Was wäre denn gewesen, wenn ich bei
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ nur x heraushebe?
Dann bleibt ja übrig:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1-\frac{1}{x} )} \end{eqnarray*}$
Diesfalls würde der Zähler ja für +unendlich, aber auch für -unendlich gleich 1 sein.

Der Zähler geht doch gegen +/-unendlich für x gegen +/-unendlich, der Nenner geht gegen 1.....

Danke, habs editiert.

Zum Rest melde ich mich wahrscheinlich in Kürze, muss noch ein wenig nachdenken ... Augenzwinkern

Vielen Dank jedenfalls!

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