Good-Set-Principle

16.12.2010, 19:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Good-Set-Principle Moinmoin, morgen Klausur und mir fällt jetzt auf, dass ich bei einer Aufgabe Probleme hab...bin mal wieder sehr früh dran...egal, folgendes Problem: Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak A) \end{eqnarray}$ ein messbarer Raum, $\begin{eqnarray} X:\Omega\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Abbildung mit $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,x])=\{\omega\in\Omega~\|~X(\omega)\leq x\}\in\mathfrak A~\forall x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal E=\{(a,b]~\|~a<b,~a,b\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} X^{-1}(\mathfrak B)=\mathfrak A(X^{-1}(\mathcal E)) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathfrak B \end{eqnarray}$ die Borel'sche $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. Die Richtung $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ ist kein Problem, bei der anderen blicke ich aber nicht so ganz durch: $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ , wir definieren $\begin{eqnarray} \mathfrak F:=\{F\subseteq\mathbb R~\|~X^{-1}(F)\in\mathfrak A(X^{-1}(\mathcal E))\} \end{eqnarray}$ und zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak F \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra ist. Bis hier inklusive dem Nachweis der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra ist das auch alles kein Problem, jetzt allerdings im zweiten Schritt: $\begin{eqnarray} 2)~\mathcal E \subseteq \mathfrak F \Rightarrow \mathfrak A(\mathcal E)=\mathfrak B\subset \mathfrak F \Rightarrow \forall B\in \mathfrak B:~X^{-1}(B)\in\mathfrak A(X^{-1}(\mathcal E))\Rightarrow X^{-1}(\mathfrak B) \subseteq \mathfrak A(X^{-1}(\mathcal E)) \end{eqnarray}$ Mein Problem: wieso darf ich direkt $\begin{eqnarray} \mathcal E\subseteq\mathfrak F \end{eqnarray}$ annehmen? Mag mir da mal einer auf die Sprünge helfen?
16.12.2010, 22:48	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchtest du vielleich auch noch kyrillische und arabische Schriftzeichen verwenden, jaja ich weiß die schreiben das so Naja, du setzt doch $\begin{eqnarray} \mathfrak F:=\{F\subseteq\mathbb R~\|~X^{-1}(F)\in\mathfrak A(X^{-1}(\varepsilon))\} \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} X^{-1}(\varepsilon) \subseteq \mathfrak A(X^{-1}(\varepsilon)) \end{eqnarray}$ . Also folgt $\begin{eqnarray} F \in \varepsilon \Rightarrow X^{-1}(F) \in \mathfrak A(X^{-1}(\varepsilon)) \Rightarrow F \in \mathfrak F \end{eqnarray}$ . Viel Erfolg!
16.12.2010, 22:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Stochastiker brauchen das, ich weiß auch nicht wieso. Danke für deine Antwort, aber wie es der Zufall (wir sind ja grade in der Stochastik) so will, habe ich gerade nach einer Lernpause nochmal drauf geguckt und selber gesehen, dass das trivialerweise erfüllt ist. War ein klein wenig blind vorhin und hab mich ca. eine Stunde damit aufgehalten. Naja, aber immerhin passt es ja jetzt, danke nochmal.

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