Induktion - duale Basis

16.12.2010, 19:43

dupla

Induktion - duale Basis

hallo,

ich habe hier eine sehr seltsam ausschauende aufgabe, die ich mittels vollständige induktion lösen soll.

Zitat:

Zeige: die zu der basis $\begin{eqnarray*} B=(1, x-k, (x-k)^2,..., (x-k)^{n-1}) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K[x]_{<n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in K \end{eqnarray*}$ duale basis von $\begin{eqnarray*} (K[x]_{<n})^* \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} B^*=(\epsilon_k,\frac{1}{1!} \epsilon_k o \partial, \frac{1}{2!} \epsilon_k o \partial ^2, ...,\frac{1}{(n-1)!} \epsilon_k o \partial^{n-1}) \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} \epsilon_k: K[x]_{<n}->K, p(x) -> p(k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ die formale ableitung

$\begin{eqnarray*} \partial: K[x]->K[x], \sum\limits_{i=0}^n a_ix^i -> \sum\limits_{i=0}^{n-1} a_{i+1}(i+1)x^i \end{eqnarray*}$ ist.

schon der induktionsanfang verwirrt mich.

für n=1 ist $\begin{eqnarray*} B=(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^*=(\epsilon_k) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \epsilon_k(1)=1 \end{eqnarray*}$ .
ich bezweifel, dass der induktionsanfang so richtig ist, aber ich sehe momentan auch keinen anderen weg.

der induktionsschritt klappt dann bei mir gar nicht mehr, da ich doch dann zeigen müsste, dass für $\begin{eqnarray*} B=(1, x-k, (x-k)^2,..., (x-k)^{n-1}),(x-k)^n \end{eqnarray*}$ die duale basis gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} B^*=(\epsilon_k,\frac{1}{1!} \epsilon_k o \partial, \frac{1}{2!} \epsilon_k o \partial ^2, ...,\frac{1}{(n-1)!} \epsilon_k o \partial^{n-1}) ,\frac{1}{n!}\epsilon_k o \partial^n ) \end{eqnarray*}$

doch wie ich das zeigen kann, ist mir nicht klar.

hat jemand einen tipp für mich? danke schonmal im voraus.

17.12.2010, 12:19

Reksilat

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RE: Induktion - duale Basis
Hi Dupla,

Die Induktion muss hier nicht unbedingt auf diese Weise erfolgen. Fang doch erst mal ohne Induktion an:

Am besten ist es, wenn Du Dir erst mal überlegst, dass der Dualraum ja auch die Dimension n haben muss. Dann musst Du nur noch zeigen, dass Deine Menge $\begin{eqnarray*} B^* \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist.

Deine Basis $\begin{eqnarray*} B^* \end{eqnarray*}$ nennen wir mal $\begin{eqnarray*} (\gamma_0,..,\gamma_n) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \gamma_i=\frac{1}{i!}\epsilon_k\circ\partial^i \end{eqnarray*}$ .
Nun nimmst Du Dir eine (nichttriviale) Darstellung der Null: $\begin{eqnarray*} 0=\sum_{i=0}^n\lambda_i\gamma_i \end{eqnarray*}$ .

Dies ist also die Nullabbildung und somit bildet $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n\lambda_i\gamma_i \end{eqnarray*}$ sämtliche Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf die Null ab. Dann kannst Du per Induktion zeigen, dass alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gleich 0 sind. Im Induktionsanfang schaust Du dir eben den ersten Basisvektor von B an und zeigst $\begin{eqnarray*} \lambda_0=0 \end{eqnarray*}$ .

Induktion muss nicht unbedingt immer unendlich weit laufen. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

17.12.2010, 21:52

dupla

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danke dir, damit habe ich diese aufgabe hinbekommen smile

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