Grenzwert berechnen ohne l'Hôspital

16.12.2010, 22:10

oom_32

Grenzwert berechnen ohne l'Hôspital

Hallo,

Ich soll hier für ne Aufgabe den Grenzwert berechen, aber ohne die Regel von l'Hôspital...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi} \frac{\cos{(\frac{x}{2}-\pi)}}{x-\pi} \end{eqnarray*}$

Ich weiss dass der Grenzwert gegen 0,5 geht, da ich das ganze mal nach l'Hôspital gerechnet habe (also abgeleitet)

Aber wie kann ich den Grenzwert denn "normal" berechnen?
Sonst habe ich immer die höchsten Potenzen "leben" lassen und geschaut was ich dann noch kürzen kann.
Aber hier weiss ich nicht was ich rechnen soll.
Ich weiss dass der Kosinus von minus Pi halbe 0 ist, Pi minus Pi auch null ist. Dann würde ich aber für den Grenzwert ja Null rauskriegen, was ja aber falsch ist....

16.12.2010, 22:41

Helferlein

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Dürft ihr die Taylorentwicklung (oder Linearisierung) des cosinus benutzen?

Für $\begin{eqnarray*} x \approx \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gilt nämlich $\begin{eqnarray*} cos(x) \approx \frac{\pi}{2}-x \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 00:09

oom_32

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Hallo,

Das höre ich zum ersten Mal....

Aber das bringt mich doch auch nicht weiter oder?
Ich bräuchte ja so eine "Vereinfachung" wenn x = Pi ist.

17.12.2010, 01:21

Helferlein

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Wenn x gegen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ strebt, gegen was geht dann bitte schön $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}-\pi \end{eqnarray*}$ ?

17.12.2010, 01:34

oom_32

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Gegen minus Pi Halbe

Sorry aber ich weiss nicht was ich damit anfangen soll

17.12.2010, 01:43

Helferlein

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Im Zähler steht $\begin{eqnarray*} cos(\frac{x}{2}-\pi) \end{eqnarray*}$ und der "Klammerterm liegt im Bereich von $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , außerdem hat der Cosinus so einige Eigenschaften....

17.12.2010, 01:48

oom_32

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Kann ich dann das in den Limes einsetzen also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{-\pi}{2}-\pi}{\pi - \pi} \end{eqnarray*}$
Ich verstehs nicht, wie kann ich das anwenden ???

17.12.2010, 01:52

Helferlein

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Du hast den Hinweis mit der Cosinus-Eigenschaft nicht beachtet.
Die oben angegebene Abschätzung gilt nur für $\begin{eqnarray*} x\approx\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x\approx - \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 01:57

oom_32

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Ich versteh überhaupt nicht was das ganze mir bringen soll.
Im Nenner steht ja dann schließlich immer 0.
Das macht dann keinen Sinn....
Könntest du mir nicht sagen wie man den Grenzwert hier ausrechnet?

17.12.2010, 02:03

Helferlein

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Es geht einfach darum, dass der Cosinus-Term durch einen einfacheren Term ersetzt werden soll, mit dessen Hilfe der Grenzwert dann ausgerechnet werden kann.
Die Lösung direkt anzugeben, widerspricht den Board-Regeln und daher werde ich sie Dir auch nicht präsentieren. Aber wenn Du Dir die gegebenen Hinweise noch einmal in Ruhe anschaust und Dir überlegst, was Du über cos(-x) weisst, oder wie du das anders darstelle oder ausrechnen kannst, bist Du schon sehr nahe an einer Lösung.

Ich werde dann mal ins Bett verschwinden, wenn noch Fragen sind: Ich bin morgen ab ca. 11:30 wieder hier.

17.12.2010, 02:41

oom_32

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Dass der Kosinus ersetzt werden soll ist mir schon klar^^.
Aber durch was ist die Frage.
Wenn ich logisch denke dann muss er mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (x-\pi) \end{eqnarray*}$ ersetzt werden...
1) Wie kommt man drauf, ohne vorher zu wissen, dass das Ergebnis 0.5 ist?
2) Stimmt das überhaupt?
3) Was soll das in den vorigen Posts in den immer von minus Pi halbe die Rede ist? Kommt das daher dass $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist?

17.12.2010, 07:08

René Gruber

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Was ist schon "normal" ?

Vielleicht das: Mit Substitution $\begin{eqnarray*} u = \frac{x-\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x=2u+\pi \end{eqnarray*}$ gelangst du z.B. zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \pi} \frac{\cos\left( \frac{x}{2}-\pi \right)}{x-\pi} = \lim_{u\to 0} \frac{\cos\left( u-\frac{\pi}{2} \right)}{2u} = \frac{1}{2} \lim_{u\to 0} \frac{\sin(u)}{u} \end{eqnarray*}$

basierend auf $\begin{eqnarray*} \cos\left( u-\frac{\pi}{2} \right) = \sin(u) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Der nun verbleibende Grenzwert rechts dürfte dir doch bekannt sein, oder?

17.12.2010, 10:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert berechnen ohne l'Hôspital

Zitat:

Original von oom_32
Ich soll hier für ne Aufgabe den Grenzwert berechen, aber ohne die Regel von l'Hôspital...

Die Frage ist dann, was du überhaupt verwenden darfst. Vielleicht, daß der Grenzwert des Differenzenquotienten gleich der Ableitung ist?

Mit $\begin{eqnarray*} f(x) := \cos(\frac{x}{2} - \pi) \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi} \frac{\cos{(\frac{x}{2}-\pi)}}{x-\pi} = \lim_{x \to \pi} \frac{f(x) - f(\pi)}{x - \pi} = ... \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 11:51

Helferlein

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Zitat:

Original von oom_32
1) Wie kommt man drauf, ohne vorher zu wissen, dass das Ergebnis 0.5 ist?
2) Stimmt das überhaupt?
3) Was soll das in den vorigen Posts in den immer von minus Pi halbe die Rede ist? Kommt das daher dass $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist?

Auch wenn hier schon zwei alternative Möglichkeiten präsentiert wurden, schließe ich noch mal an die Fragen an, um auch meinem Ansatz einen Abschluß zu geben.

1) Grundgedanke ist den Cosinus an der betrachteten Stelle durch seine Tangente zu ersetzen, da diese in einer hinreichend kleinen Umgebung eine gute Näherung für die Cosinus-Werte darstellt und als Gerade wesentlich einfacher zu handhaben ist.

2) ja, das ist der benötigte Term

3) auch das ist richtig. Da der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow\pi \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, bewegt sich der Term in der "Cosinus-Klammer" um $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ herum, so dass wir hier auch die Tangente des Cosinus bestimmen müssen. Dieser ist aber achsensymetrisch, also können wir stattdessen auch die Tangente bei $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ betrachten.

17.12.2010, 13:29

oom_32

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Erstmal danke an alle!
Leider verstehe ichs nicht ganz...

@ René Gruber
Warum substituierst du genau das?
Ich hätte das was im Cosinus steht substituiert.
Dann bleibt folgender Ausdruck stehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to -\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{u}}{2u+\pi} \end{eqnarray*}$
Wenn ich den jetzt ableiten würde (Zähler und Nenner extra), dann würde ich ja gleich sehen dass 0.5 raus kommt. Das soll ich aber nicht -.-

@ Helferlein

Wie soll ich drauf kommen dass meine Gerade so heißen muss???

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2} (x-\pi) \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 13:37

René Gruber

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Zitat:

Original von oom_32
Warum substituierst du genau das?

Weil ich einen einfachen Nenner haben will, und weil das dann eben passt.

17.12.2010, 13:50

oom_32

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OK

Danke.
Da muss man dann aber auch "Erfahrung" mitbringen um so was geschickt zu wählen ....

Danke danke

17.12.2010, 14:33

Helferlein

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Zitat:

Original von oom_32
Wie soll ich drauf kommen dass meine Gerade so heißen muss???

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2} (x-\pi) \end{eqnarray*}$

Bestimmung von Tangenten hattet ihr noch nicht?

Die gesuchte Gerade muss im Punkt $\begin{eqnarray*} P(\frac{\pi}{2} / cos(\frac{\pi}{2})) \end{eqnarray*}$ mit dem Cosinus übereinstimmen und dieselbe Steigung haben. (Also $\begin{eqnarray*} -sin(\frac{\pi}{2})=-1 \end{eqnarray*}$ )
Wenn Du diese beiden Bedingungen in die allgemeine Geradengleichung g(t)=at+b einsetzt, erhältst Du für die Tangente die Gleichung $\begin{eqnarray*} g(t)=\frac{\pi}{2}-t \end{eqnarray*}$ .
Für t setzt Du dann noch $\begin{eqnarray*} -(\frac{x}{2}-\pi) \end{eqnarray*}$ (Ich hatte mich ja auf die Symmetrie des Cosinus berufen, um die Betrachtung ins Positive zu verlegen) und dann hast Du deine Gleichung.

Ich merke allerdings gerade, dass es vermutlich leichter wäre auf die Verlegung in den positiven Bereich zu verzichten und stattdessen gleich die Tangente für $\begin{eqnarray*} P(-\frac{\pi}{2} / cos(-\frac{\pi}{2})) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

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