Konvergenz, Integralkriterium, sin(x)/x

17.12.2010, 09:46

Sabine5

Konvergenz, Integralkriterium, sin(x)/x

Meine Frage:
Hallo alle zusammen! Ich muss die Konvergenz folgender Reihe zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\sin((k+1)\pi x)}{(k+1)\pi}<\infty} \end{eqnarray*}$ ,

x ist aus[-0.5;0.5]

Meine Ideen:
Ich habe zwei Ideen:
1) monoton fallende, alternierende Nullfolge => mit Leibnitzkrizerium Konvergenz. Dieses Vorgehen geht vermutlich nicht, oder? das ist doch nicht monoton fallend und auch nicht alternierend, oder spinne ich?

2)Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\sin((k+1)\pi x)}{(k+1)\pi}}\leq \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\sin((k+1)\pi x)}{(k+1)\pi x}}\leq\int_0^\infty {\frac{\sin((k+1)\pi x)}{(k+1)\pi x}}<\infty, \end{eqnarray*}$
wegen Integralkriterium und weil:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty {\frac{\sin(x)}{x}}<\infty \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob man auf diese Funktion das Integralkriterium anwenden darf.
PS: haltet mich wegen 1) nicht für bescheuert;-)

17.12.2010, 10:46

René Gruber

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So bescheuert ist 1) nicht: Es klappt zwar nicht mit Leibniz, aber mit dessen Verallgemeinerung, dem Dirichlet-Kriterium.

17.12.2010, 12:20

Sabine5

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Konvergenz, Integralkriterium, sin(x)/x
Hallo, ich verstehe es nocht nicht. das Dirichletkriterium lautet offenbar:
Die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {a_kb_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k,b_k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn (ak) eine monoton fallende Nullfolge ist und die Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n {b_k}=\sum\limits_{k=1}^n {\sin((k+1)\pi x)} \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge bilden.
Schön.
Meine Partialsummen bilden aber doch nicht unbedingt eine beschränkte Folge, oder etwa doch?

17.12.2010, 13:08

René Gruber

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Doch, das tun sie. Betrachtet man $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n \sin((k+1)\pi x) = \sum_{m=2}^{n+1} \sin(m \pi x) \end{eqnarray*}$ , dann kann man das durch komplexe Einbettung auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} s_n = \operatorname{Im}\left( \sum_{m=2}^{n+1} \exp(im \pi x) \right) \end{eqnarray*}$ ,

womit man grob abschätzen kann

$\begin{eqnarray*} \left| s_n \right| \leq \left| \sum_{m=2}^{n+1} \exp(im \pi x) \right| \end{eqnarray*}$ .

Innerhalb des Betrages rechts steht die Partialsumme einer geometrischen Reihe, da kann man die bekannte Summenformel einsetzen und dann weiter nach oben abschätzen durch etwas, was nicht mehr von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt.

17.12.2010, 14:55

Sabine5

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Ja, das sehe ich zwar ein, aber zufrieden bin ich noch nicht. Ich kann das abschätzen, habe dann aber eine Abschätzung, die noch von |x|^-1 abhängt. Ich brauche das doch eigentlich unabhängig von x, oder verstehe ich was falsch?

schau vielleicht mal hier: http://martingubisch.de/cms/upload/files...%20Analysis.pdf
Seite 12 und folgende.

Das ist schon ziemlich genau, was ich brauche. Die zeigen in dem Beispiel die Konvergenz von
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\exp(2\pi ikx)}{k} } \end{eqnarray*}$ auf jedem Intervall [a, 1-a] mit a<0.

Was ich ursprünglich machen will, ist die Konvergenz genau dieser Reihe auf dem Intervall [-0.5, 0.5] , wobei x ungleich Null ist, zu zeigen.
(Meinen erster Beitrag ist damit also nicht mehr von belang.)

Ist mein Problem mit dem, was bei dem angegebenen Link getan wird jetzt schon gezeigt?

17.12.2010, 14:57

Sabine5

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ach so, der einzige weg, der euch einfällt ist also auch über das Kriterium von Dirichlet.
das heißt, dass der zweite weg aus meinem ersten beitrag nicht funktioniert (wegen monotonie?), oder?

17.12.2010, 15:44

René Gruber

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Zitat:

Original von Sabine5
Ich brauche das doch eigentlich unabhängig von x

Ich lese in deiner obigen Aufgabenstellung nichts von einer geforderten gleichmäßigen Beschränktheit des Reihenwerts bzgl. der von dir angegebenen Werte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern nur von Beschränktheit. Sollte das dennoch der Fall sein, dann musst du das nochmal so präzisieren.

17.12.2010, 19:55

Sabine5

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Konvergenz, Integralkriterium, sin(x)/x
Ok, was ich genau machen muss ist folgendes:

zeige, dass es eine konstante c>0 gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} \sup_{N>0}{\sup_{x\in [T]}{\biggl|\sum\limits_{1\leq |r|\leq N} {\frac{1}{r}e^{(2\pi irx)} } \biggr|}}<C,\quad\quad T=[-0.5,0.5] \end{eqnarray*}$

Wenn man das jetzt in zwei summen aufteilt und dann für jede eine abschätzung hat ist man ja fertig. man kommt also zu obigem Problem.
Und ja, ich brauche offenbar gleichmäßige konvergenz auf T=[-0,5; 0.5]

im punkt x=0 kann diese abschätzung natürlich nicht funktionieren, aber auf dem restlichen intervall schon. ist der in dem link beschriebene weg richtig?

17.12.2010, 20:05

René Gruber

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Zitat:

Original von Sabine5
zeige, dass es eine konstante c>0 gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} \sup_{N>0}{\sup_{x\in [T]}{\biggl|\sum\limits_{1\leq |r|\leq N} {\frac{1}{r}e^{(2\pi irx)} } \biggr|}}<C,\quad\quad T=[-0.5,0.5] \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist falsch, das folgt ziemlich offensichtlich aus der Divergenz der harmonischen Reihe.

EDIT: Ach halt, summierst du auch über negative $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ? In dem Fall könnte es dann doch noch richtig sein.

Insgesamt finde ich es schon ein ziemliches Verwirrspiel, was du da aufführst: Dass du erst so nach und nach mit der wirklichen Aufgabenstellung herausrückst, und einen somit immer mal an die Wand fahren lässt ("Ja ... aber zufrieden bin ich doch noch nicht") - da hätte man doch gleich etwas konkreter da ran gehen können, jetzt muss man an geeigneter Stelle wieder neu ansetzen. Ich komme mir jedenfalls ziemlich verarscht vor. unglücklich

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