Geometrische Reihe

17.12.2010, 13:42

Kerstin89

Geometrische Reihe

hey, hab da ein problem mit ein paar aufgabenstellungen.. aber auch allgemein mit der vorgehensweise bei solchen aufgaben.

also ich führe erst mal eine aufgabe auf.. vllt. erklären sich die anderen dadurch von alleine..

die aufgabenstellung lautet:

Berechnen Sie folgende Summen und Reihen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^\infty (2^{-m})^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

es in diese form zu bringen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^{k-1} = a\frac{1-q^{k} }{1-q} \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 13:55

klarsoweit

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RE: Geometrische Reihe

Zitat:

Original von Kerstin89
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^{k-1} = a\frac{1-q^{k} }{1-q} \end{eqnarray*}$

Das ist ja total verunglückt. Wenn, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n = a \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$

und das auch nur, wenn |q| < 1 ist. smile

17.12.2010, 14:11

Kerstin89

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also wenn $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n = a \frac{q}{1-q}<br /> \end{eqnarray*}$

ansonsten

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty aq^{k-1} = a\frac{1-q^{k} }{1-q} \end{eqnarray*}$

oder unter welcher vorraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty aq^{k-1} = a\frac{1-q^{k} }{1-q} \end{eqnarray*}$ ?

wie du sicherlich festellen wirst, bin ich sehr unsicher..

gruß

kerstin

17.12.2010, 14:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kerstin89
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty aq^{k-1} = a\frac{1-q^{k} }{1-q} \end{eqnarray*}$

Also dann muß schon der obere Summenindex gleich n sein. Und rechts muß es natürlich auch q^n heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n aq^{k-1} = a\frac{1-q^{n} }{1-q} \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 14:57

Kerstin89

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ok, das rechts war ein tippfehler..

aber unter diesen umständen kann ich es anwänden?

bin wirklich verwirrt unglücklich

gruß kerstin

17.12.2010, 15:09

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Du mußt feinfühlig unterscheiden zwischen einer endlichen und einer unendlichen geometrischen Reihe. Und du kannst nicht die Formel für eine endliche geometrische Reihe auf eine unendliche geometrische Reihe anwenden.

17.12.2010, 15:35

Kerstin89

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ok..

also da mein beispiel unendlich ist muss ich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n = a \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$

17.12.2010, 15:39

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Ja.

17.12.2010, 16:59

Kerstin89

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soo musste kurz weg..

also dann wäre $\begin{eqnarray*} 2^{2} \sum\limits_{m=1}^\infty (2^{-m})^{2} \end{eqnarray*}$

nur weiß ich jetzt nicht sicher wie ich auf q schließen soll..

17.12.2010, 19:12

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Wie kommt den das 2² vor die Summe?

Zitat:

Original von Kerstin89
nur weiß ich jetzt nicht sicher wie ich auf q schließen soll..

Da mußt du mal $\begin{eqnarray*} 2^{-m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ vergleichen.

17.12.2010, 19:32

Kerstin89

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durch die indexverschiebung..

bin eigentllich nur nicht im klaren darüber ob es 2 oder 1/2 sein soll

aber schon mal danke

17.12.2010, 22:17

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Zitat:

Original von Kerstin89
durch die indexverschiebung..

So? Wie sieht denn der erste Summand aus? Übrigens handelt es sich um eine Summe, doch du schreibst den ersten Summand als Faktor vor die Summe. Lehrer

19.12.2010, 14:17

Kerstin89

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der erste summand nach $\begin{eqnarray*} 2^2\sum\limits_{m=1}^\infty (2^{-m})^{2} \end{eqnarray*}$ sieht so aus $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2^{1} })^{2} *2^2 =1 \end{eqnarray*}$

was ja das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^\infty (2^{-m})^{2} , (\frac{1}{2^{0} })^{2}=1 \end{eqnarray*}$

daraus würde ich folgern, dass q=1/2 ist.

und m hab ich auf m=1 verschoben und dies anwenden zu können.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty aq^{k-1} \end{eqnarray*}$

hoffe mal, dass nicht alles falsch ist.. unglücklich

20.12.2010, 08:33

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RE: Geometrische Reihe
OK, jetzt habe ich verstanden, was du gemacht hast.

Ich hatte erst gedacht, daß du sowas rechnen wolltest:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^\infty (2^{-m})^2 = 1 + \sum\limits_{m=1}^\infty (2^{-m})^2 \end{eqnarray*}$

Ein paar kleine Erläuterungen der Umformungen erleichtern auch das Verständnis beim Leser. Augenzwinkern

Nun denn, jetzt kannst du die geometrische Summenformel anwenden.

20.12.2010, 10:41

Kerstin89

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muss ich denn überhaupst was ausklammern?

da die erst summe ja so schon ein eins ist...

und q müsste doch ein eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^2} \end{eqnarray*}$ sein..

ach es ist einfach ein rießen krampf...

wenn ich nur den index verschiebe würde es so aussehen oder?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty \frac{1}{2^{2m-2} } \end{eqnarray*}$

weil eins eingesetzt ergibt wieder die 0 bzw. die folgenden summanden..

20.12.2010, 10:58

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RE: Geometrische Reihe
Irgendwie stehst du dir doch selber auf den Füßen.

Schreibe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^\infty (2^{-m})^2 = \sum\limits_{m=0}^\infty 4^{-m} = \sum\limits_{m=0}^\infty (\frac 1 4)^m \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du den ersten Summanden rausziehen und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n = a \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ anwenden

oder du wendest direkt diese Formel an: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty aq^n = a \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

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