Schnittpunkt berechnen

17.12.2010, 13:56

evilbiddy

Schnittpunkt berechnen

Meine Frage:
Gegeben:

$\begin{eqnarray*} E_{2}: -3x_{1} + 4x_{3} = 13 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{4} = (1,2,1) , P_{5} = (3,4,4) \end{eqnarray*}$

Die Gerade G1 geht durch die Punkte P4 und P5.

Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Geraden G1 mit der Ebene E2.

Meine Ideen:
Eiglt doch ne simple aufgabe, aber ich komm nicht auf das richtige Ergebnis unglücklich

Ich habe erstmal E2 aufgestellt mit den Punkten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ganze müsste dann so aussehn: $\begin{eqnarray*} E_{2} : x = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \gamma \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

G1 sieht bei mir so aus: $\begin{eqnarray*} g_{1} : x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich das GLS:
$\begin{eqnarray*} 5 - 4\lambda + 4\gamma = 1 + 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma = 2 + 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 - 3\lambda + 3\gamma = 1 + 3t \end{eqnarray*}$

nach a weng umformen und auflösen kommt da bei mir $\begin{eqnarray*} t = 1 \end{eqnarray*}$ raus ... aber es müsste 2 sein unglücklich

17.12.2010, 14:04

Colt

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Der Punkt (9, 1, 10) kann doch schonmal garnicht auf der Ebene liegen, da diese die x-z-Ebene ist, bei der der y-Wert immer Null ist.

17.12.2010, 14:07

evilbiddy

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oh man ... klar, dann rechne ichs nochmal durch und setzt den y-Wert überall null!
danke schonmal smile

17.12.2010, 14:10

Colt

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Ich verstehe aber garnicht warum die Normalenform weghaben möchtest! Du hast doch die Gerade schon aufgestellt und kannst sie jetzt einfach dort einsetzten. Dann bekommst du dein t heraus. Setzte es in die Gerade ein und du hast den Schnittpunkt.

17.12.2010, 14:14

evilbiddy

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ich brings net fertig, damit ne Ebene aufzustellen, weil wenn y immer 0 ist, dann sind die Richtungsvektoren doch immer linear abhängig voneinander, oda denk ich schon wieder iwie falsch??
ich habs jedenfalls nicht geschafft, 2 Richtungsvektoren zu bekommen, die nicht linear abhängig sind ...

17.12.2010, 14:15

evilbiddy

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Zitat:

Original von Colt
Ich verstehe aber garnicht warum die Normalenform weghaben möchtest! Du hast doch die Gerade schon aufgestellt und kannst sie jetzt einfach dort einsetzten. Dann bekommst du dein t heraus. Setzte es in die Gerade ein und du hast den Schnittpunkt.

ich wollte ne Parameterform, damit ichs mit der Parameterform der Geraden gleichsetzten kann ...

17.12.2010, 18:36

evilbiddy

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so etz hab ich gemerkt, wie simple es eigtl is, wenn mans net umformt ... trotzdem danke für die hilfe smile

17.12.2010, 21:13

wisili

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Zitat:

Original von Colt
Der Punkt (9, 1, 10) kann doch schonmal garnicht auf der Ebene liegen, da diese die x-z-Ebene ist, bei der der y-Wert immer Null ist.

Das ist falsch. Die y- bzw. x2-Werte sind beliebig, auch (9, 273, 10) liegt auf der Ebene E2.

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