Verschoben! Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren |
| 17.12.2010, 17:23 | Mr. MO | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Hallo zusammen. Es kann gut sein dass mein Problen sehr trivial und einfach zu lösen ist aber ich komme einfach nicht dahinter. Ich habe eine (hochprofessionelle) Zeichnung mit Word erstellt damit das Ganze verstänglich wird. - alles was schwarz ist ist bekannt, - alles was türkis ist kann ich errechen, - und rot ist gesucht. Also: Gegeben sind die Punkte P1(6,92|6), P2(8,08|5,42) und der Winkel Alpha mit 40 grad. Zudem ist bekannt dass die Vektoren P13 und P23 gleich lang sind. Die rotieren um Punkt P3. Gesucht sind die Koordinaten von Punkt P3. Meine Ideen: Ich habe folgendes ohne grössere Probleme geschafft: Vektor P13 berechnet: P13=(1,16|-0,54); |P13|=1,28 Punkt A berechnet: A=(x|y)=((x1+x2)/2|(y1+y2)/2)=(7,5|5,71) Bertag Vektor P2A=0,648 Da Vektoren/Strecken (was von beiden eigenlich?) P13 und P23 gleich lang sind kann ich deren länge so berechen: |P13|=|P2A|/sin(alpha/2) =1,88 Auch den Bertag der Strecke AP3 bekomme ich über die trigonometrie oder den Pythagoras: |AP3| = 1,76 Und Jetzt möchte ich gerne die Koordinaten des Punktes P3 wissen. Ich kann mir vorstallen dass es ein Problem gibt weil ich in die Trigonometrie gerutscht bin. Einen anderer Lösungsansatz: Ich habe eine Grade die Orthogonal auf einem Vektor P13 steht. Ich suche jetzt den Schnittpunkt P3 zwischen meiner Grade und einem Vektor der unter einem bekannten Winkel von P1 auf meine Grade zu läuft. Ich bin für jede Hilfe dankbar, Marco |
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| 17.12.2010, 22:01 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Da gibt es sicher mehrere Möglichkeiten. Grundsätzlich geht es darum, ein gleichschenkliges Dreieck zu konstuieren. Nachdem der Winkel in P3 bekannt ist, kann man leicht den Basiswinkel berechnen. Da auch noch die Strecke P1P2 bekannt ist, läßt sich über einen Vorwärtsschnitt die Schenkellänge bestimmen. In der Vermessung würde man nun z. B. den Winkel von P1 nach P2 bestimmen und zusammen mit dem Dreieckswinkel in P1 (= Basiswinkel) den Winkel nach P3 errechnen. Damit hat man Winkel und Seite von P1 nach dem Neupunkt P3 und gelangt so zu den Koordinatendifferenzen zwischen P1 und P3. Dein Ansatz, im Mittelpunkt zwischen P1 und P2 eine orthoganale Gerade einzusetzen, führt auch zum Ziel. Den Richtungsvektor für diese Gerade gewinnst Du ja aus dem Vektor . Normiere ihn (dann hat er die Länge 1) und multipliziere ihn mit dem Betrag der Strecke AP3. Gibt aber sicher noch eine elegantere Lösung. Was mir aufgefallen ist: Du hast den Begriff Vektor nicht immer so verwendet, wie er in der Analytischen Geometrie verwendet wird. Hier sind Vektoren Vertreter eines Ortsvektors, der vom Ursprung zu einem Punkt geht. Dein Koordinatensystem entspricht nicht dem in der Mathematik üblichen, wo die positive x-Achse nach rechts weist; das ist aber weiters kein Problem. |
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| 20.12.2010, 19:29 | Mr. MO | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Hallo Gualtiero, Danke für deine Antwort. Und entschuldige dass ich etwas spät darauf eingehe, dieses Problem kam bei der Arbeit auf und ich war am WE nicht im Büro um darauf einzugehen. Den ersten deiner Lösungsvorschläge konnte ich nachvollziehen und mien Problem damit lösen. Danke dafür, Sitchwort Vorwärtsschnitt. Nun habe ich versucht auch mit der Zweiten Lösungsmöglichkeit das Ergebnis zu berechen. Leider ist mein Vektor-Wissen etwas eingerostet und ich habe hier während der Arbeit nicht die Zeit mich in das Thema tiefer einzuarbeiten. Also wie man einen Vektor normiert, das bekomme ich hin (glaub ich). Beispiel: v=(3|4) n=v*1/|v|=(0,6|0,8) Wo es bei mir jetzt noch hakt ist die Bestimmung der Richtung meiner orthogonalen Graden. Evtl. könntest du mir die Formel noch kurz posten? Währe eine grosse Hilfe. |
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| 20.12.2010, 21:26 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Das Erstellen eines Normalvektors zu einem gegebenen Vektor in der Ebene ist denkbar einfach: Vertausche die Koordinaten und kehre ein Vorzeichen um. Das kannst Du leicht auf einer Skizze oder einem Blatt karierten Papiers nachvollziehen. Z. B. bekommst Du so zum Vektor einmal den um 90° nach rechts verdrehten Vektor und den nach links verdrehten Vektor . Für eine Gerade ist das aber nicht relevant, welchen von beiden man nimmt. Es wirkt sich nur auf das Vorzeichen des Parametes aus. |
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| 21.12.2010, 13:43 | Mr. MO | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Ich danke noch mal, jetzt hab ichs. Nun wirds aber erst Lustig, das Ganze wird räumlich. Dashalb habe ich auch versucht das mit der Vektorrechnung verstehen. Ich denke das ich damit folgendermassen vorgehen werde: - Ich habe 3 (Räumliche) Koordinaten welche eine Fläche aufspannen (oder nennt sich das hier jetzt Ebene?) - Von dieser Fläche/Ebene den Mittelpunkt bestimmen - eine orthogonal zu der Ebene duch den Mittelpunkt verlaufende Gerade bilden - Jetzt wieder die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen. Winkel sind bekannt. Wenn ich noch mal auf meine Zeichnung Bezug nehme: Der Vektor vom Ursprung zu P3 ist fest im Raum. Um diesen Punkt rotiert nun ein weiterer Vektor(Verr), wenn man jeden möglichen Punkt einzeichnet würde sich also eine Kugel mit P3 im Mittelpunkt bilden. Nun kann ich die Position von Verr auf der Oberfläche der Kugel bestimmen (messen), halt die X/Y/Z Koordinaten. Des weiteren kenn ich die Winkel zwischen Verr1; Verr2 usw. Gesucht ist wie gesagt der Punkt P3. Ich könnte auch mehr als 3 Verr messen aber das ist doch nicht nötig, oder? Gibt es eine Vorgehensweise die du empfehlen würdest? Und, da ich deine Hilfsbereitschaft nicht überstrapazieren möchte, kannst du mir ne Seite empfehelen wo das mit den Vektoren noch mal erklärt wird? Da gibt es zwar sehr vieles aber die Qualität schwankt doch erheblich. |
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| 21.12.2010, 16:08 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Was die angesprochene Hilfsbereitschaft betrifft, so helfen wir gerne bei konkreten Aufgaben und bemühen uns auch, das Verständnis für mathematische Zusammenhänge herzustellen. Aber Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum von Grund auf durchzugehen, übersteigt unsere Möglichkeiten. Mit Literaturhinweisen kann ich da leider auch nicht dienen, am besten lernt man das durch praktische Übungsbeispiele. Ich lese gelegentlich bei wikipedia nach, und das ist zugegebenermaßen ein Nachschlagewerk und kein Lehrbuch. Aber ich bin ja Gott sei Dank nicht der einzige Helfer hier, vielleicht hat jemand anderer einen Tipp. Übrigens sehe ich zwei Aufgaben in Deinem letzten Beitrag: Zuerst einmal drei Punkte, die im Raum eine Ebene definieren. Dann soll eine Gerade errichtet werden, die auf die Ebene normal steht. Weiter unten scheint es um den Schnitt dreier Kugeln zu gehen, der den Punkt P3 ergeben soll. Wobei mir aber nicht klar ist, warum P3 berechnet werden soll, da ja der Vektor vom Ursprung zu P3 gegeben ist. |
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| 22.12.2010, 17:40 | Mr. MO | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Also was die Kugeln angeht habe ich mich wohl etwas falsch ausgedrückt. Ich habe das Ganze noch einmal gezeichnet, jetzt sollte klarer sein was ich meine. Es geht bei der ganzen Geschichte übrigends um das messen des Erdmagnetvektors auf den ein Störrvektor einwirkt. Der Erdmagnetvektor (grün) steht immer gleich, der Srörrvektor ist von der Stellung des Kompass zum Zeitpunkt der Messung abhängig. Messen kann ich also nur den resultierenden Vektor (dunkelrot gepunktet). Jetzt möchte ich halt wissen wie gross der Erdmagnetvektor ist (und wie er steht). Bekannt ist: - der Störrvektor ist immer gleich gross - der Erdmagnetvektor ist immer gleich gross und hat immer dieselbe Orientierung -> das ergibt halt die Kugel deren Mittelpunkt der gesuchte Erdmagnetvektor ist Messen kann ich: - die Vektoren P1, P2, P3 (und beliebig viele mehr) - die Winkel P1zuP2, P1zuP3 usw. Nun habe ich mir folgende Vorgehenweise überlegt: - Ebene über P1,P2,P3 bilden (die Ebenengleichung aufstellen ist kein Problem) - Schwerpunkt S der Dreiecks P1,P2,P3 (auch kein Problem) - Länge der Strecke SzuP? berechen (ist denke ich möglich, hab ich aber noch nicht gemacht. Aber da die Winkel bekannt sind...) - !einen! Vektor normieren und mir dem Betrag der Strecke SP? multipliezieren Folgende Fragen stellen sich mir noch: - lieg ich damit richtig wenn ich sage dass eine Gerade, rechtwinklig von der Ebene, durch den Schwerpunkt, auf den Punkt P? trift? - Welchen Vektor muss ich normieren um ihn dann mit dem Betrag der Strecke SP? zu multiplizieren? Wenn du im Weihnachtsstress ne Minute Zeit findes um einen Kommentar dazu abzugeben währe das echt korrekt. Ich werde aber erst nächsten Dienstag wieder aktiv an dem Problem arbeiten können. Somit wünsche ich dir und allen anderen die evtl. mitlesen frohe Weihnachten! |
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| 23.12.2010, 17:41 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ja sein, dass ich das Problem völlig flasch verstehe. Ene Kugel (x-m1)^2+(y-m2)^2+(z-m3)^2-ro^2=0 sollte mit 4 Punkten über 4 GLeichungen zu berechnen sein? Ich gehe davon aus, dass Du mit Vektoren Px die Koordinaten in x,y,z meinst? |
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| 23.12.2010, 22:54 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier unbekannter Vektoren Diesen Vorschlag, um es gleich vorweg zu sagen, halte ich auch für eine Lösung. Allerdings über den Zusammenhang zwischen genügend weiträumiger Punktverteilung auf der Erdoberfläche und gewünschter Genauigkeit kann ich nichts sagen. (Ich hätte geschätzt, dass die Punkte mindestens 60° voneinander entfernt sein sollten, dann wäre das Ganze aber ein interkontinentales Projekt.)
Da ist für mich nach wie vor ein Widerspruch enthalten, was den Erdmagnetvektor angeht. Da es aber eine Lösung gibt, ist das weiterhin nicht von Bedeutung. Damit ist auch dieser Punkt hinfällig:
Das funktioniert so nicht, zumindest nicht beliebig. Ich kann es zwar nicht mathematisch beweisen, aber ich habe mit einem CAD-System versucht, auf diese Weise den Kugelmittelpunkt zu finden und festgestellt, dass das nur klappt, wenn die Punkte auf einem gleichseitigen Dreieck liegen. |
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