Parametrisierung, Kurve

17.12.2010, 17:26	easyone	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung, Kurve Hallo ich habe ein paar Fragen zum Thema Parametrisierung bei denen ich nicht weiterkomme. 1) Mir ist nicht ganz klar, wie ich unterscheide ob ich den Weg einer Kurve vorwärts oder rückwärts gehe. Beim rückwärtsgehen verwende ich ja ein Minuszeichen. Nur wo von ist es abhängig ob ich vorwärts oder rückwärts wähle? 2) Wenn ich eine normale Gerade habe, kann ich zur Parametrisierung ja den Stützvektor aufstellen und muss dann nur noch den Richtungsvektor wählen. Aber wie müsste ich vorgehen wenn ich eine Parabel habe. In meinem Beispiel ist die Parabel $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray}$ und ich habe die Punkte von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ könnt ihr mir da weiterhelfen? gruß
17.12.2010, 17:37	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo liegt denn jetzt genau dein Problem? Wenn du eine Funktion vorgegeben hast, erhälst du eine Kurve durch die Parametrisierung $\begin{eqnarray} c(t) = (t, f(t)) \end{eqnarray}$ mit Definitionsbereich [a,b]. Bei dir wäre das [0,2]. c(0) = (0,0) und c(2) = (2,2).
17.12.2010, 17:52	easyone	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Musterlösung kommt für den Weg $\begin{eqnarray} \gamma (t)=\begin{pmatrix} 2t \\ 2t^{2} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus ich verstehe nicht wie man darauf kommt bzw in welchem Zusammenhang das mit $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray}$ steht
17.12.2010, 17:57	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, wenn dieser Weg herauskommen soll, dann ist der Definitionsbereich anders. Mit der 0,5 davor ist er gleich [0,1]. Damit wir auf dem gleichen Stand sind, solltest du deine Aufgabe hochladen.
17.12.2010, 18:23	easyone	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe lautet vollständig: Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray} \int_a^b \! y^{2}dx + (2x+y)^{2}dy \, \end{eqnarray}$ ( statt den Grenzen a, b steht da als untere Grenze C) wobei C der Parabelbogen auf der Parabel $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist
17.12.2010, 19:04	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Für diese Aufgabe ist es egal, welchen Weg du wählst. Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Weges. Würde ich die Aufgabe lösen, dann würde ich meinen Weg nehmen, wie die auf den anderen Weg kommen, erschließt sich mir nicht.
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17.12.2010, 22:58	easyone	Auf diesen Beitrag antworten »
habs jetzt mit der Formel $\begin{eqnarray} \gamma (t)= \begin{pmatrix} deltaxt +x0 \\ f(deltaxt +x0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gelöst. damit komm ich auf das Ergebnis aus der Musterlösung
17.12.2010, 23:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x = 2t \, , \ \ y = 2 t^2 \ \ \Rightarrow \ \ \frac{1}{2} \, x^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( 2t \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4t^2 = 2t^2 = y \end{eqnarray}$ Das ist also eine mögliche Parametrisierung des Parabelbogens.

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