Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

18.12.2010, 00:29

Lara1992

Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zu der Erklärung von Bijektivität.
Bijektivität tritt ja dann ein, wenn die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Aber ich versteh nicht so ganz wie das gehen soll, da ich immer wenn ich die Definitionen von den beiden Begriffen lese zu dem Schluss komme, dass surjektiv das Gegenteil von injektiv beschreibt.
Aber dann kann eine Funktion ja nicht beides sein, oder?
Wo liegt mein Denkfehler?

Meine Ideen:
.

18.12.2010, 00:32

Math1986

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RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

Zitat:

Original von Lara1992
Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zu der Erklärung von Bijektivität.
Bijektivität tritt ja dann ein, wenn die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Aber ich versteh nicht so ganz wie das gehen soll, da ich immer wenn ich die Definitionen von den beiden Begriffen lese zu dem Schluss komme, dass surjektiv das Gegenteil von injektiv beschreibt.
Aber dann kann eine Funktion ja nicht beides sein, oder?
Wo liegt mein Denkfehler?
.

Das eine schliesst das andere ja nicht aus.. schlag mal die Definitionen nach
Definitionen nachschlagen
Ich verstehe nicht, wo dein Denkfehler liegt

Beispiel für eine bijektive Funktion wäre zB die identische Abbildung

18.12.2010, 00:35

Airblader

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Dein Denkfehler ist der, dass sich diese Begriffe nicht widersprechen. Augenzwinkern

Injektivität bedeutet: Zwei verschiedene Elemente werden auch wirklich auf verschiedene Elemente abgebildet (oder anders gesagt: Jeder Funktionswert taucht nur einmal auf!)

Surjektivität bedeutet, dass jedes Element im Zielraum getroffen wird.

Beispiel für eine weder injektive noch surjektive Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

Beispiel für eine injektive aber nicht surjektive Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x \end{eqnarray*}$

Beispiel für eine surjektive aber nicht injektive Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3 + x^2 \end{eqnarray*}$

Beispiel für eine injektive und surjektive (also bijektive) Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x \end{eqnarray*}$

Einfach mal anschauen und gucken, woran die einzelnen Eigenschaften scheitern oder warum sie doch gelten. Wenn du bei einem Beispiel nicht zurechtkommst gib Bescheid. Augenzwinkern

air

18.12.2010, 00:37

Airblader

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RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

Zitat:

Original von Math1986
Beispiel für eine bijektive Funktion wäre zB die identische Abbildung

Zwischen ein- und demselben Raum, ja. Aber für beliebige Räume gilt das definitiv nicht, siehe
$\begin{eqnarray*} f = \operatorname{id}: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}, x \mapsto x \end{eqnarray*}$

Die ist sicher nicht surjektiv.

air

18.12.2010, 00:41

Math1986

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RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Original von Math1986
Beispiel für eine bijektive Funktion wäre zB die identische Abbildung

Ja, das vergass ich zu erwähnen, mein Fehler Augenzwinkern

18.12.2010, 14:59

-_-

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Eine kleine Anekdote, die ich mal irgendwo gelesen/gehört habe.
Stell dir vor es gibt 20 Personen und x Stühle in einem Raum.
Injektiv: x ist größer als 20, wir können jeder Personen eine Stuhl zuordnen aber nicht jedem Stuhl eine Person.
Surjektiv: x ist kleiner als 20, wir können jetzt jedem Stuhl mind. eine Person zuordnen aber nicht jeder Person genau einen Stuhl.
Bijektiv: hier wenn wir genau so viele Stühle wie Personen haben, jeder Person kann genau ein Stuhl zugeordnet werden und jedem Stuhl genau eine Person.

18.12.2010, 15:08

Airblader

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Also wenn ich bedenke, dass das Missverständnis beim Fragesteller hier war, dass sich Injektivität und Surjektivität auszuschließen scheinen, finde ich die Formulierung der Anekdote ehrlich gesagt denkbar schlecht.

Der erste Fall sollte eher "Injektiv und NICHT surjektiv" und der zweite Fall eher "Surjektiv und NICHT injektiv" heißen - denn in den Formulierungen der Fälle geht das jeweils mit ein!

air

18.12.2010, 18:27

turbojunge

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RE: Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Original von Math1986
Beispiel für eine bijektive Funktion wäre zB die identische Abbildung

(Klugscheißmodus an)
Eine Anmerkung dazu: Bei der identischen Abbildung $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}: V \to W \end{eqnarray*}$ ist per Definition $\begin{eqnarray*} V = W \end{eqnarray*}$ . Dein Beispiel ist nicht die Identität sondern die Inklusion.
(Klugscheißmodus aus)
smile

18.12.2010, 19:30

Airblader

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Touché .

air

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Surjektivität, Injektivität und Bijektivität

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