Gruppenhomomorphismen

20.11.2006, 17:17

RedSunset

Gruppenhomomorphismen

Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen f: (Q,+) -> (Z,+) und alle Automorphismen f: (Q,+) -> (Q,+).

Wie gehe ich an diese Aufgaben ran? Die Def. sind mir bekannt nur leider weis ich nicht was ich bei dieser Aufgabe tun muss nun.

20.11.2006, 17:30

phi

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Im Gegensatz zu Isomorphien (eins-zu-eins-Abbildungen,bijektiv), ist hier (Homomorphie) nur die Surjektivität zu zeigen, das also zu jedem Bild mindestens ein Urbild existiert.

mfg phi

20.11.2006, 17:34

Mathespezialschüler

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Die Aufgabe sollte klar sein oder? Setze mal $\begin{eqnarray*} a=f(1) \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du dann für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ darstellen? Was muss für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gelten, damit dieser Wert immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ liegt? Ist das möglich?
Bei den Automorphismen ist das Ganze noch etwas aufwändiger, da es da wirklich ein paar mehr Automorphismen gibt ...

Gruß MSS

edit: @phi
Wo steht, dass ein Homomorphismus surjektiv sein muss?

20.11.2006, 17:44

RedSunset

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Zitat:

Wie kannst du dann für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ darstellen?

indem ich a ebenfalls element n wähle ? $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ oder?

Zitat:

Was muss für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gelten, damit dieser Wert immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ liegt? Ist das möglich?

Öhm a muss dann wie oben erwähnt element N sein?

20.11.2006, 17:50

Mathespezialschüler

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Nein! $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ soll ja eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein. Dann muss es ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} f(1)=a \end{eqnarray*}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre ein Homomorphismus. Dann muss ja $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gelten. Daraus folgt für alle $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x_1+\ldots+x_n)=f(x_1)+\ldots+f(x_n) \end{eqnarray*}$ .

Setze mal $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ein. Was folgt dann?

Gruß MSS

20.11.2006, 18:03

RedSunset

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dann folgt:
$\begin{eqnarray*} f(1/n+\ldots+1/n)=f(1/n)+\ldots+f(1/n) \end{eqnarray*}$ ?
Dann müssen die f(1/n) alle in Z liegen?

20.11.2006, 18:07

Mathespezialschüler

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Das ja sowieso ...
Aber die linke Seite kannst du noch wesentlich vereinfachen. Du hast da $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal den Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Was ist diese Summe also? Und auf der rechten Seite kannst du ebenfalls noch etwas zusammenfassen.

Gruß MSS

20.11.2006, 18:14

RedSunset

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$\begin{eqnarray*} f(1)=n*f(1/n) = a \end{eqnarray*}$ ?

20.11.2006, 18:19

Mathespezialschüler

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Genau! Was ist dann $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

20.11.2006, 18:33

RedSunset

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eine gute Frage weis ich leider nicht...
verstehe auch nicht so ganz warum ich damit jetzt auf dem Weg bin alle Gruppenhomom. zu bestimmen. Wäre lieb von dir wenn du das noch ein wenig erläutern könntest.

20.11.2006, 18:37

Mathespezialschüler

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Ok, wenn $\begin{eqnarray*} n\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)=a \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{a}{n} \end{eqnarray*}$ ,

und zwar für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Da die Abbildung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ abbildet, muss $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n}\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten. Wann ist das nur möglich?

Gruß MSS

20.11.2006, 18:49

RedSunset

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wenn a auch Element Z ist oder?

20.11.2006, 19:02

phi

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Aber welche a ? Wenn a/n für alle natürlichen Zahlen n gelten soll, setz einfach mal ein paar ein, z.B. n=5, n=33, n=23423500 usw. . Welche a können nur all diese Gleichungen erfüllen?

Edit: Ich hab welches in welche geändert. Sinnvoller wäre vielleicht die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , da wenn für alle n das gleiche a gemeint wäre, a=0 sein müsste. Aber wenn f(1)=0 wäre, dann wäre f kein Homomorphismus mehr.

Wenn a/n ganz sein soll, was muß dann für a gelten?

20.11.2006, 19:20

RedSunset

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Alle ganzen Zahlen müssen ja bei a/n rauskommen ... also a Element Z ? oder nicht?

20.11.2006, 19:23

phi

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Das sowieso, aber was muss a in Bezug auf n sein ... M.a.W. Wenn irgendwas geteilt durch irgendwas am ende als etwas Ganzes rauskommen soll dann ist a ....n ?

20.11.2006, 19:32

RedSunset

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ein vielfaches von n

20.11.2006, 19:59

phi

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Zitat:

Original von phi
Ja, genau! Mir ist aber im Moment nicht klar worauf MSS hinaus wollte, denn a=0 kann er nicht gemeint haben, sonst wäre bewiesen das es gar keinen Homomorphismus gibt. Aber wegen der Gleichmächtigkeit von Q+ und N+ gibt es sogar einen Isomorphismus.

Ich schau's mir noch mal von vorne an

Edit: ARGHHH! Hammer

Es heißt : (Q , +) und nicht Q+ !!

Dann nehm ich alles zurück: Es geht also um ein einziges a. Und die Frage lautet dann was ist a wenn a/1000= a/100000 = a/n für alle n gelten soll.

21.11.2006, 10:03

Mathespezialschüler

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Angenommen, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z,a\neq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n} \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl ist. O.B.d.A. sei $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ . Dann müsste ja, wenn man $\begin{eqnarray*} n=2a \end{eqnarray*}$ einsetzt, auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}=\frac{a}{2a} \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl sein. Widerspruch! Also bleibt höchstens $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ übrig! Denn dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n}=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z,n\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Und damit ergeben sich alle anderen Abbildungswerte sofort.

Gruß MSS

21.11.2006, 22:18

RedSunset

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dank dir vielmals!
und wie mache ich dass jetzt für die automorphismen? wie zeig ich dass x---> ax ALLE Automorphismen umfasst?

21.11.2006, 22:32

Mathespezialschüler

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Es soll ja für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} a:=f(1) \end{eqnarray*}$ . Zeige der Reihe nach folgende Aussagen für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=0,\qquad f(-x)=-f(x),\qquad f(x-y)=f(x)-f(y), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=az,\qquad f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{a}{n},\qquad f\left(\frac{z}{n}\right)=a\frac{z}{n} \end{eqnarray*}$ .

Damit bist du dann fertig.

Gruß MSS

21.11.2006, 22:51

RedSunset

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also gehört das jetzt auch schon zum zweiten teil (mit automorphismen)? oder noch zum ersten aufgabenteil?

21.11.2006, 23:10

Mathespezialschüler

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Nein, schon zum zweiten Teil.

Gruß MSS

21.11.2006, 23:16

RedSunset

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also setze ich einfach immer nur ein 0 , -x , (x-y) , usw. und schaue ob nach der Abb. VOrschrift x --> ax das entsprechende rauskommt? Und damit habe ich dann gezeigt dass x --> ax wirklich ALLE sind?

21.11.2006, 23:17

Mathespezialschüler

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Nein! Du sollst zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Automorphismus ist, dann folgen diese ganzen Sachen. Du darfst also wirklich nur benutzen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ !!

Gruß MSS

22.11.2006, 10:53

phi

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(Q,+) ist ja nur als additiver Ring erklärt. Deshalb musst du x--->ax aus f(x + x + .... + x ) = f(x) + .... + f(x) ableiten, und nicht umgekehrt. Und bei allen anderen genauso verfahren.

Übrigens, was hast du bei der ersten Aufgabe geschlußfolgert ? Wieviel Homomorphismen gibt es demnach zwischen (Q,+) und (Z,+) ?

mfg, phi

22.11.2006, 16:52

RedSunset

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beim ersten Teil ist es nur die Nullabb. oder die id Abb. !

22.11.2006, 16:54

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von RedSunset
beim ersten Teil ist es nur die Nullabb. oder die id Abb. !

Welche identische Abbildung denn? Beachte, dass von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ abgebildet wird!

Gruß MSS

25.11.2011, 00:27

I.Haffner

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meinst du vllt f(1/n) = 1/n *f(a)?

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