lineare Abbildung und Skalarprodukt - Injektivität

18.12.2010, 13:23

dupla

lineare Abbildung und Skalarprodukt - Injektivität

hallo,

ich bin mir gerade nicht sicher, ob ich folgendes richtig gezeigt habe.

die aufgabe lautet:

Zitat:

Es seien V und W euklidische Vektorräume mit Skalarprodukten $\begin{eqnarray*} ( , ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} < , > \end{eqnarray*}$ (letzteres bezeichnet das standardskalarprodukt). Weiter sei $\begin{eqnarray*} \phi: V->W \end{eqnarray*}$ eine abbildung, die $\begin{eqnarray*} \phi(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (v,w)=<\phi(v),\phi(w)> \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear und injektiv ist.

die linearität habe ich bereits zeigen können.

die injektivität wollte ich so zeigen, wobei ich mir allerdings nicht sicher bin, ob ich das ganze so richtig gemacht habe.

laut definition muss ich ja folgendes zeigen: $\begin{eqnarray*} \forall v,w \in V: \phi(v)=\phi(w)=>v=w \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} <\phi(v),\phi(w)> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =<\phi(v),\phi(v)> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(v,v) \end{eqnarray*}$

da das skalarprodukt positiv definit ist, ist $\begin{eqnarray*} (v,v) \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (v,v)=0 <=> v=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => v=w=0 \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} \phi(0)=0 \end{eqnarray*}$ folgt dann, dass
$\begin{eqnarray*} Kern(\phi)=\{0\} \end{eqnarray*}$ , also injektiv.

könnte ich das so machen, oder bin ich hier komplett auf dem holzweg?

danke schonmal im voraus.

18.12.2010, 14:31

Elvis

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Ich verstehe deinen Beweis nicht ganz. Wie wäre es mit folgendem:
$\begin{eqnarray*} \phi(v)=0 \Leftrightarrow <\phi(v),\phi(v)>=(v,v)=0\Leftrightarrow v=0 \end{eqnarray*}$

18.12.2010, 15:52

dupla

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danke für die antwort.

du hast recht, so wäre es wirklich besser smile

damit hat sich das thema erledigt, danke nochmals.

22.12.2010, 18:48

.niklas

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Wie hast du das mit der linearität denn gelöst?

also ich habe dazu:

$\begin{eqnarray*} <\varphi(\alpha \cdot a+b),\varphi(c)>=<\alpha \varphi(a)+\varphi(b),\varphi(c)> \end{eqnarray*}$

gezeigt. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das reicht. Wie zeige ich jetzt, dass das Skalarprodukt "hinreichend injektiv" ist?

17.07.2017, 18:17

boby

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Hallo! Zwar ist die Antwort 7 Jahre zu spät, aber es gibt ja immer noch Studenten und so smile

Meiner Meinung nach ist so die Linearität komplett gezeigt:

$\begin{eqnarray*} <\varphi(\alpha \cdot a+b),\varphi(c)> = <\alpha \varphi(a)+\varphi(b),\varphi(c)> = \alpha * <\varphi(a), \varphi(c)> + < \varphi(b), \varphi(c)> \end{eqnarray*}$

Für die Injektivität geht man einfach so vor wie die Beiträge oben vorschlagen. Also man nutzt die positiv Definitheit.

Lg

Anonym

17.07.2017, 18:36

Elvis

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Ich verstehe nicht, wieso das ein Beweis ist. Du setzt doch nur im linken Argument des Skalarproduktes voraus, dass die Abbildung linear ist, du beweist es aber nicht.
Mir scheint, dass die Linearität mittels Basisdarstellung von Vektoren bewiesen werden kann ... ich habe es aber noch nicht ganz geschafft ... wer kann helfen ?

17.07.2017, 21:16

IfindU

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Man berechne fuer die Additivitaet $\begin{eqnarray*} \langle \phi(v) + \phi(w) - \phi(v+w),\phi(v) + \phi(w) - \phi(v+w)\rangle \end{eqnarray*}$ , indem man die Bilinearitaet des Skalarprodukts nutzt, um jede Menge Summanden zu bekommen, bei denen man jeweils zum Skalarprodukt zu $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ zurueckgehen kann.

Aehnlich und kuezer fuer das andere natuerlich $\begin{eqnarray*} \phi(\lambda v) - \lambda \phi(v) \end{eqnarray*}$ betrachten.

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