Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene

18.12.2010, 14:16

cappelui

Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene

Meine Frage:
Die Aufgabe ist als jpg. beigefügt

Meine Ideen:
Hallo
Also ich habe, um den Fluss zu berechnen einfach versucht den Satz von Gauß anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} \int_B \! div g \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Divergenz des Vektorfeldes

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1x_2 \\ x_2-x_1^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bilde erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} div g = x_2-1 \end{eqnarray*}$

Danach verfahre ich mit dem Satz von Gauß weiter:

$\begin{eqnarray*} \int_B \! x_2-1 \, d(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$

um die Grenzen(Polar: phi (0;2pi) r(0;1)) nutzen zu können wandle ich in Polarkoordinaten um :

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (sin(phi)*r-1) \,r dr d phi \end{eqnarray*}$

Ich erhalte als Ergebnis dann -pi.

In den Lösungen der Aufgabenblätter ist jedoch das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \end{eqnarray*}$ .

Was habe ich falsch gemacht ???

Danke im vorraus... Wink

18.12.2010, 14:25

Mulder

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RE: Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene

Zitat:

Original von cappelui
Wenn ich die Divergenz des Vektorfeldes

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1x_2 \\ x_2-x_1^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bilde erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} div g = x_2-1 \end{eqnarray*}$

Warum denn minus Eins? verwirrt

Zitat:

Original von cappelui
um die Grenzen(Polar: phi (0;2pi) r(0;1))

Warum sollte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ komplett von 0 bis 2 pi laufen? Das wäre doch ein ganzer Kreis. Schau dir die Menge B nochmal genau an.

18.12.2010, 14:46

cappelui

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RE: Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene
Achso, achso Augenzwinkern

Dann ist :

$\begin{eqnarray*} div g = x_2+1 \end{eqnarray*}$

wie blöd von mir...

und das B bedeutet ja nur im Bereich wo x1 und x2 positiv sind oder?

also eigentlich nur von 0 bis pi/2:

Sprich nur der erste Qudrant oder ist das falsch?

kann mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{+}_{0} \times \mathbb R ^{+}_{0} \end{eqnarray*}$ nicht viel anfangen...

oder ist es der erste und zweite Quadrant? also dann in den grenzen 0 bis pi ?

18.12.2010, 14:49

Mulder

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RE: Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene

Zitat:

Original von cappelui
und das B bedeutet ja nur im Bereich wo x1 und x2 positiv sind oder?

also eigentlich nur von 0 bis pi/2:

Sprich nur der erste Qudrant oder ist das falsch?

Richtig.

18.12.2010, 15:00

cappelui

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RE: Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene
Ok.

Aber dann sieht mein Integral ja folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi /2} \! \, \int_0^1 \! (sin(phi)*r+1)\,r drdphi \end{eqnarray*}$

mein ergebnis für das integral ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} +\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

und das vorgegebene Ergebnis sollte ja wie gesagt
$\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \end{eqnarray*}$ sein

versteh meinen Fehler nicht unglücklich

18.12.2010, 15:08

Mulder

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RE: Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene
Dann mache ich jetzt entweder den gleichen Fehler wie du, oder aber die Angabe in der Lösung ist falsch. Tut mir leid, mehr kann ich dazu nicht sagen, ich erhalte das gleiche wie du.

Warten wir nochmal ein wenig ab, vielleicht mag ja jemand anders hier im Board das Ergebnis auch nochmal bestätigen oder den Fehler aufdecken, so es denn einen in unserer Rechnung geben sollte.

Wink

20.12.2010, 12:54

Cel

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Ich erhalte ebenfalls keine $\begin{eqnarray*} \frac{14}{15} \end{eqnarray*}$ , wäre gut, wenn du das aufklären würdest, wenn du Bescheid weißt.

20.12.2010, 13:01

cappelui

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Na Klar mach ich das Augenzwinkern

.
Kann aber auch sein das ich die falsche formel nehme...
Bin mir da jetzt auch nicht ganz sicher.
Aber ich werde euch auf dem laufenden halten

20.12.2010, 16:13

cappelui

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Hi leute,

Also der dozent hat die aufgabe grad aktualisiert.
Super gell ?

Anbei mal die neuen Grenzen

Ich hab hier aber das problem was mach ich dann für grenzen für a) ????
Kann ja nicht zu r entwickeln oder doch ?

Dann müsste unser ergebnis für b) ja auch korrekt sein oder?

LG

Cappelui

21.12.2010, 13:15

cappelui

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Guten Tag,
also ich komm für die neue Aufgabe für a) einfach net auf meine Grenzen unglücklich

Ich kann hier keine Poolarkoordinaten nehmen weil
$\begin{eqnarray*} 0\leq x_1^{2}+x_2\leq 1 \end{eqnarray*}$ oder?
aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{0}^{+} \times \mathbb R _{0}^{+} \end{eqnarray*}$
ist, kann man doch phi von 0 bis pi/2 als Grenze nehmen.
Also geht irgenwie beides net richtig oder wie kann man das verstehen ?

LG

Cappelui

22.12.2010, 13:35

cappelui

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RE: Berechnung des Flusses über Satz von Gauß in der Ebene
Hi,
hab die neuen grenzen für a) jetzt von nem kollegen bekommen:

a) $\begin{eqnarray*} \left[0...1-x_1^{2} \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[0...1\right] \end{eqnarray*}$
Wie kommt man darauf?
Mir ist klar das ich das x_1 einfach rüberholen und dann auf $\begin{eqnarray*} \left[0...1-x_1^{2} \right] \end{eqnarray*}$ komme aber wie krieg ich dann $\begin{eqnarray*} \left[0...1\right] \end{eqnarray*}$ ????

Bitte brauch dringeng hilfe unglücklich

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