Offenes Intervall hat eine rationale Zahl

20.11.2006, 17:36

martin85

Offenes Intervall hat eine rationale Zahl

Hallo,
ich soll zeigen, dass jedes offene Intervall ]a,b[ mindestens eine rationale Zahl enthält.
Irgendwie habe ich keine Idee, wie ich das zeigen kann. verwirrt

20.11.2006, 17:40

Mathespezialschüler

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Was hattet ihr denn schon für Sätze? Z.B. Folgenden:

"Zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine rationale Zahl."?

Gruß MSS

20.11.2006, 17:58

martin85

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Das ist der erste Satz, den wir bzgl. Intervallen hatten.

20.11.2006, 17:59

Mathespezialschüler

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Ok. Was passiert denn, wenn du als diese zwei reellen Zahlen einfach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wählst? Augenzwinkern

Gruß MSS

20.11.2006, 18:06

martin85

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Da es sich um ein offenes Intervall handelt, liegen a und b nicht mehr in dem Intervall. Dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \mid a<x<b \end{eqnarray*}$
Ist das soweit richtig?

20.11.2006, 18:20

Mathespezialschüler

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Wenn du $\begin{eqnarray*} (a,b)=]a,b[=\{x\in\mathbb R\ |\ a<x<b\} \end{eqnarray*}$ meinst, dann ist das richtig. Aber das ist noch keine Lösung der Aufgabe ...

Gruß MSS

20.11.2006, 18:31

martin85

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Ich komme jetzt auf keinen weiterführenden Schritt.

20.11.2006, 18:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine rationale Zahl.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was passiert denn, wenn du als diese zwei reellen Zahlen einfach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wählst? Augenzwinkern

...

Gruß MSS

20.11.2006, 18:45

martin85

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Dann liegt (a+b)/2 immer in dem Intervall. Meinst du das?

21.11.2006, 10:57

Mathespezialschüler

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Nein, denn $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ liegt zwar immer in dem Intervall, aber es muss ja nicht irrational sein! Was ich meinte, ist folgendes:
Da zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt, muss auch zwischen den beiden reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl liegen. Und diese liegt dann natürlich in dem Intervall.

Gruß MSS

21.11.2006, 18:27

martin85

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ok, das verstehe ich. Aber wie zeige ich das?

21.11.2006, 18:34

Mathespezialschüler

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Achso, sorry. Hatte deine Aussage oben ganz anders verstanden.

Zitat:

Original von martin85
Das ist der erste Satz, den wir bzgl. Intervallen hatten.

Nämlich so, dass du den Satz "Zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine rationale Zahl." schon kennst, aber das ist ja anscheinend nicht der Fall. Nungut, dann muss es anders gehen. Wie habt ihr denn die rationalen und die reellen Zahlen definiert? Und hattet ihr vielleicht schon Sätze, bei denen du dir vielleicht vorstellen könntest, dass sie dir hier helfen könnten? Ich kann ja jetzt nicht alle aufzählen und bei jedem einzeln nachfragen, ob du den schon kennst.

Gruß MSS

21.11.2006, 18:43

Dlopoel

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Was hier zu zeigen ist, hängt ganz davon ab, was ihr im Unterricht bereits eingeführt und bewiesen habt. Vielleicht ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a = 2{,}3481567 \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 2{,}3483002 \ldots \end{eqnarray*}$

Und nun betrachte die Zahlen

$\begin{eqnarray*} c_{\text{irr}} = 2{,}34820220222022220222220 \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{\text{rat}} = 2{,}34821555555555555555555 \ldots \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, daß die drei Pünktchen bei den $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ 's selbsterklärend sind.

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