Determinante von nxn Matrix induktiv

18.12.2010, 13:47	-_-	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante von nxn Matrix induktiv Meine Frage: Ich habe eine $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix gegeben. Auf der Hauptdiagonlen stehen 2en sonst besteht sie nur aus 1en. Die Determinanten von dieser Matrix soll berechnet werden. Durch ausprobieren ist offensichtlich, dass det = n+1 ist - nur leider dürfte das wenig mit Mathematik zu tun haben. Achja: Wenn meine Idee komplett "bescheuert" ist, schreibt es ruhig. Meine Ideen: also habe ich mir gedacht ich kann das ja einfach mal behaupten und dann beweisen. Dazu habe ich mir überlegt, dass für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ mit Vollständiger Induktion zu beweisen. Induktionsanfang ist klar, 22-11 = 3 = 2+1 Dann lautet die Induktionsvorr, dass für n bewiesen sei, dass det A = n+1 gelte. Also gilt auch insbesondere (nach Entwicklungssatz, La Place) $\begin{eqnarray} det(A) = \sum\limits_{p=1}^n (-1)^{p+q}a_{pq}det(A_{pq}) = n+1 \end{eqnarray}$ Für den Induktionsschritt habe ich mir dann folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} det(A) = \sum\limits_{p=1}^{n+1}(-1)^{p+q}a_{pq}det(A_{pq}) = \sum\limits_{p=1}^{n} (-1)^{p+q}a_{pq}det(A_{pq}) + \sum\limits_{p=n+1}^{n+1} (-1)^{p+q}a_{pq}det(A_{pq}) \\= (n+1) + \sum\limits_{p=n+1}^{n+1} (-1)^{p+q}a_{pq}det(A_{pq}) \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass bei der letzten Summe natürlich 1 rauskommen muss, da laut Induktionsschritt ja n+2 rauskommen muss. Aber ich weiß nicht wie ich mit der Summe darauf kommen soll. Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.
18.12.2010, 19:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante von nxn Matrix induktiv Bevor Du den Entwicklungssatz anwendest, solltest Du erst mal ein paar Nullen erzeugen. Du könntest zum Beispiel die erste Zeile von allen anderen abziehen und dann für diese Form die Determinante beweisen. Gruß, Reksilat.
20.12.2010, 11:08	-_-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also wenn ich die erste Zeile von allen anderen abziehe erhalte ich in der erste Zeile wie gewohnt an erster Stelle eine Zwei und sonst nur Einsen (ich habe ja nichts verändert...). In der ersten Spalte als erstes natürlich die 2 und sonst nur -1. Auf der Hauptdiagonalen stehen jetzt bis auf die erste Stelle nur Einsen. Der Rest sind nullen. Das heißt ich könnte jetzt den Entwicklungssatz anwenden und die erste Zeile und die erste Spalte weglassen und hätte dann eine Einheitsmatrix von der die Determinante eins ist!?
20.12.2010, 11:59	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach was willst Du denn entwickeln? Auch hier ist Induktion sinnvoll, aber es geht eben schneller. Gruß, Reksilat.
20.12.2010, 12:51	-_-	Auf diesen Beitrag antworten »
nach der ersten Zeile.
20.12.2010, 12:55	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich oben schon schrieb, ist es sinnvoll, vor der Entwicklung der Matirx nach Nullen zu suchen. Wenn wir jetzt extra viele Nullen erzeugt haben, ist es doch ziemlich unnütz, nach der Spalte zu entwickeln, in der noch lauter Einsen stehen.
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20.12.2010, 14:04	-_-	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn ich nach der letzten Zeile entwickle habe ich deutlich mehr nullen...

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