Transformation, Kugelkoordinaten |
| 18.12.2010, 15:58 | muls1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Transformation, Kugelkoordinaten Hallo Ich habe diese beiden Aufgaben zu lösen und mir fehlt leider jeglicher Ansatz vielleicht könnt ihr mir weiter helfen 1) Sei R=((x,y) aus ?2:x^2?y?2x^2,y^2?x=<3y) Berechnen Sie das Maß von R mit Hilfe der Transformation u=y/x2 und v=x/y2 2) Sei K=((x,y,z) aus ?3:z>0,x2+y2+z2?1 a) Geben Sie die Menge K in Kugelkoordinaten an. b) Berechnen Sie das Integral ? xyz dK Meine Ideen: Bei der 1) weiß ich leider gar nicht wie man vorgehen soll Bei der 2)sind mir die Kugelkoordinaten bekannt aber ich versteh nicht wie man damit das Integral berechnen sollte |
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| 18.12.2010, 18:01 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, erstmal lesbar, so richtig? 1) Sei Berechnen Sie das Maß von R mit Hilfe der Transformation und 2) Sei a) Geben Sie die Menge K in Kugelkoordinaten an. b) Berechnen Sie das Integral Zur ersten: Die Transformation steht da, also solltest du sie erstmal anwenden. Die Transformationsformel hattet ihr vermutlich, jetzt brauchst du nur nachzuschauen und einzusetzen. (Das Maß einer Menge ist das Integral über sie, über die Funktion 1) Zur zweiten: Naja, ebenfalls Trafo und dann weiterschauen. Die Menge wird dadurch einfacher und das Integral ändert sich, das musste dann mit Fubini auseinander klamüsern. Schreib am besten deine Zwischenergebnisse der Trafos hier auf. MfG 20 |
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| 19.12.2010, 10:53 | muls1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo Also bei der 1 hab ich als Maß 6 raus hab aber nicht die Determinante beachtet. Weiß nicht wie ich die daraus berechnen kann. Hab zu erst u nach nach y und v nach x umgestellt und dann hab ich für R= ((u,v) in C : 1\leq u\leq 2 , 1\leq v\leq 3) raus Für das Integral : \int_1^3 \! \int_1^2 \! u*v du dv Zur Aufgabe 2) a) K=(r,phi,theta) in RR^3: r cos theta >0, (r sin theta cos phi)^2+ (r sin theta sin phi)^2 + (r cos theta)^2 \leq 1) Für r gilt dann: r\leq 1 Weiß jetzt leider nicht wie ich an die anderen Greznen komme um das Integral zu berechnen. Sorry für die Schreibweise aber komm mit dem Eingeben noch nicht so ganz zurecht. MfG |
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| 19.12.2010, 13:56 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das verstehe ich jetzt so, dass ich die Menge oben falsch abgeschrieben habe, kannst du da bitte zuerst nochmal gucken?
Die Grenzen passen zu deiner Menge, aber wie kommst du auf u*v? Die Funktion über die du integrieren musst ist ja 1, die Frage ist, wie du auf die Determinante kommst, da deine Transformation ja falschrum gegeben ist. Man braucht sie eigentlich von dem neuen Raum in den alten, wie bei der nächsten Aufgabe.
Das sind die Standardgrenzen, nur verändert durch die erste Bedingung, die das ganze zu einem bestimmten Teil der Kugel macht, welchem? Anhand dessen solltest du die Grenzen auch einschränken können. (Volle Kugel hat je nach Konvention die Intervalle (-pi,pi) und (0,pi))
Kein Problem, zitier meine Beiträge um zu sehen wie ich das gemacht habe... MfG 20 |
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| 19.12.2010, 17:11 | muls1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hey Also bei der Aufgabe 1) steht über all in der Menge kleiner gleich nicht echt kleiner. Wenn ich das Integral mit 1 berechne komm ich als Lösung auf den Wert 2 . Bei der Aufgabe 2) müssten doch dann als Grenzen für phi und tetha (0,pi/2) gelten. Das mit der Determinante versteh ich leider noch nicht so ganz. Wir haben in der Vorlesung die Determinante von Kugelkoordinaten berechnet. Diese beträgt r^2 sin tetha . Muss ich diese dann einfach mit dem Integral multiplizieren? MfG |
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| 19.12.2010, 18:26 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1) ok, das kleiner gleich oder kleiner ist egal. (warum?) Steht da 3y^2 oder 3y in der Menge ganz rechts? Du musst bei jeder Trafo die Determinante neu ausrechnen, hier ist jetzt nur das Problem, dass du die Trafo falsch rum gegeben hast, also du weißt, wie man aus x und y u und v ausrechnet, normalerweise ist das aber umgekehrt. Du könntest z.b. die Umkehrabbildung bestimmen und davon dann die Funktionaldeterminante, probier das mal. 2) Ne, die Grenzen sind nicht richtig. Du könntest z.b. phi nicht einschränken und theta einschränken. Was für ein Teil der Kugel ist das denn? MfG 20 |
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| 20.12.2010, 07:32 | muls1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei der 1) steht 3y^2 Also irgendwie blick ich da jetzt gar nicht mehr durch wie ich das machen könnte hab einfach auch keine Vorstellung dafür, wie das überhaupt aussehen soll. Muss das Blatt morgen abgeben und glaub nicht, dass ich das bis morgen noch hinbekomme. |
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| 20.12.2010, 08:33 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zur 1) nochmal: Wenn ich richtig liege, kannst du die Umkehrabbildung deiner Transformation recht einfach durch einsetzen bestimmen. Probier das einfach mal. x und y sind ja jeweils größer 0, u und v demnach auch. Zur 2): Ihr habt im Skript bestimmt ne Zeichnung der Kugel, ansonsten google mal nach Kugelkoordinaten Skizze oder so. Dann sollte dir klar werden, dass z>0 bedeutet, dass du eine Halbkugel hast. Demnach darfst du den Azimuthalwinkel (das ist der, der entlang des Äquators eingezeichnet wird) nicht einschränken, weil du ja immer noch einmal ganz rum musst, aber den Polarwinkel, der vom Pol aus gemessen wird, musst du einschränken. Und zwar genau auf die obere Hälfte, also wenn er z.b. vorher von 0 bis pi ging, geht er jetzt von 0 bis pi/2, klar? Such dir ne Skizze. MfG 20 |
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| 20.12.2010, 13:55 | muls1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sitz jetzt bestimmt seid 5 stunden heute an diesem Blatt und komme auf keinen grünen Zweig. Die Grenzen bei der 2) wären bei mir 0<=r<=1 0<= phi <=2pi 0<=tetha<= pi/2 was mir aber leider auch nicht wirklich weiter hilft weil ich jetzt einfach nicht weiß wie das Integral aussehen soll. Trotzdem Danke für deine Hilfe MfG |
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| 20.12.2010, 15:58 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Noch eine Sache zur 1): Man braucht um die Funktionaldeterminante der Ableitungsmatrix der Umkehrfunktion zu berechnen nicht unbedingt die Umkehrfunktion selber berechnen, der Satz über implizite Funktionen kann einem da evtl. helfen. Zur 2): Die Grenzen sehen gut aus, was ist jetzt noch dein Problem? Einfach xyz durch die passenden Ausdrücke in den anderen Variablen ersetzen, mit der Determinante multiplizieren (r^2 sin theta) und dann das Integral in den drei Variablen aufteilen. Die Grenzen hast du, dann kannst du einfach integrieren. Viele Grüße, 20 |
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