Rotationskörper: 2 Funktionen mit gleicher Fläche, aber unterschiedlichem Volumen? |
| 18.12.2010, 17:28 | Jaini | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Rotationskörper: 2 Funktionen mit gleicher Fläche, aber unterschiedlichem Volumen? Hallo, Ich muss ein Referat über Rotationssymmetrischekörper in meinem Mathe-Leistungskurs halten. Das Thema habe ich mir auch ganz gut eigenständig erarbeitet. Nun soll ich dem Kurs aber auch noch eine Aufgabe stellen und habe mir dazu folgende Aufgabe ausgesucht: Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)=1-x^2 und g(x)=Wurzel aus x, x>0. Berechnen Sie die Flächeninhalte, die die Funktionsgraphen über dem Intervall [0;1] mit der x-Achse einschließen, sowie die Rotationsvolumina, die sich bei Rotation der Funktionsgraphen um die x-Achse über dem Intervall [0;1] ergeben. Vergleichen Sie die Ergebnisse und erläutern Sie die Zusammenhänge. Die Ergebnise der Flächeninhalte und der Volumina habe ich errechnet. A von f= 2/3 A von g= 2/3 V von f= 8/15*pi V von g= 1/2*pi Diese findet man so auch in den Lösungen des Mathebuches. Außerdem steht dort auch die Erklärung für die zwar gleichen Flächeninhalte aber unterschiedlichen Volumina, aber ich verstehe trotzdem nicht weshalb die Volumina unterschiedlich sind bei gleichem Flächeninhalt. Meine Ideen: In den Lösungen ist folgendes angegeben: Die Flächeninhalte sind gleich, während die Rotationsvolumina sich unterscheiden. Die Funktionen f und g auf dem Intervall [0; 1] sind zueinander gedreht, d. h. betrachtet man die y-Achse bei f als x-Achse, so ergeben sich die gleichen Graphen; der Flächeninhalt ist also gleich. Bei der Rotation wird aber eine Achse ausgewählt und somit ist es nicht verwunderlich, dass die Volumina sich unterscheiden. Wie oben schon angegeben, verstehe ich aber trotzdem nicht weshalb die Volumina sich unterscheiden. Hoffentlich könnt ihr mir helfen. Danke |
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| 18.12.2010, 18:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Volumina bei der Rotation um die x-Achse setzen sich aus sogenannten Elementarzylindern zusammen. Bei der Fläche mit der x-Achse lautet ein rechteckiges Flächenelement Bei unterschiedlichen Funktionen, welche in einem Intervall gleichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließen, ist die Summe aller Elementarflächen gleich. Das impliziert aber nicht, dass deswegen die Summe aller Elementarvolumina bei beiden Funktionen ebenfalls gleich ist, weil dort die Ordinaten der Funktion als Radien dieser Zylinder quadratisch eingehen. mY+ |
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| 18.12.2010, 20:58 | Jaini | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dankeschön 
Das hat mir wirklich weitergeholfen. |
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