Lineare Unabhängigkeit zeigen

18.12.2010, 18:34

Kevv

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Lineare Unabhängigkeit zeigen

Sitz hier gerade an einer Aufgabe und weiß nicht wie ich an sie herangehen soll.

Aufgabe:
In einem Vektorraum V über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ...., v_n, v \in V \end{eqnarray*}$ gegebn mit
$\begin{eqnarray*} v_n \in U := [v_1, ..., v_{n-1}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in V ohne U \end{eqnarray*}$

Zz: $\begin{eqnarray*} v_1+v, v_2+v, ..., v_n+v \end{eqnarray*}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} v_1-v_n, ..., v_{n-1}-v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Wie fange ich da denn am besten an? Bin da im Moment ziemlich planlos

18.12.2010, 20:33

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Überlege einmal, was das bedeutet: $\begin{eqnarray*} v \in V \setminus U \end{eqnarray*}$ , lässt v sich als Linearkombination von Vektoren aus U darstellen?

Dann kannst du das so zeigen dass du einmal Vorraussetzt, dass:

$\begin{eqnarray*} v_1+v, v_2+v, ..., v_n+v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_1-v_n, ..., v_{n-1}-v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

und dann die andere Richtung:

$\begin{eqnarray*} v_1-v_n, ..., v_{n-1}-v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_1+v, v_2+v, ..., v_n+v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

19.12.2010, 12:50

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
v lässt sich nicht aus Linearkombinationen von Vektoren aus U darstellen. latex]v_n[/latex] lässt sich aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_{n-1} \end{eqnarray*}$ darstellen.
also sind $\begin{eqnarray*} v_n, v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Jetzt komm ich aber immer noch nicht weiter.

19.12.2010, 12:59

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Das ist richtig, was bedeutet das, wie lässt sich der Nullvektor dann als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_{n-1},v \end{eqnarray*}$ darstellen?

19.12.2010, 13:11

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Der Nullvektor kann aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_{n-1},v \end{eqnarray*}$ nur dann dargestellt werden wenn für $\begin{eqnarray*} \lambda *v \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

19.12.2010, 13:26

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Genau, und das benutzen wir jetzt:

Wir berachten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i (v_i +v)=0 \end{eqnarray*}$

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19.12.2010, 13:52

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ok.

Für die Richtung $\begin{eqnarray*} v_1+v, v_2+v, ..., v_n+v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_1-v_n, ..., v_{n-1}-v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i (v_i +v)=0 \end{eqnarray*}$ Da ja die Vektoren linear unabhängig sein sollen muss $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ sein.
Zeigen muss ich jetzt, dass deswegen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n-1} \alpha_j (v_j -v_n)=0 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} \alpha_j = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Nur wieso ist das so?

19.12.2010, 14:17

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Nein, dass musst du nicht zeigen, das setzen wir voraus und zeigen dann, dass für die linearkombination $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \beta_i (v_i-v) \end{eqnarray*}$ gelten muss $\begin{eqnarray*} \beta_i=0 ~\forall i \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also die Linearkombination $\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+.....+\alpha_1 (v_n+v)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha_i=0~\forall i \end{eqnarray*}$ .

Nun müssen wir folgern, dass unter dieser Vorraussetzung auch gilt $\begin{eqnarray*} \beta_1 (v_1-v)+...+\beta_n (v_n-)=0 \Rightarrow \beta_i=0 \forall i \end{eqnarray*}$

19.12.2010, 14:49

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ok...

Nur soll man zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} \beta_1(v_1-v_n)+...+\beta_{n-1}(v_{n-1}-v_n) = 0 \Rightarrow \beta_i = 0 \forall i \end{eqnarray*}$

19.12.2010, 15:27

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ich hab mal eine Frage, ist der Vektor $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ den du benutzt denn das gleiche, wie der Vektor v?

Zitat:

Original von Kevv
Ok...

Nur soll man zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} \beta_1(v_1-v_n)+...+\beta_{n-1}(v_{n-1}-v_n) = 0 \Rightarrow \beta_i = 0 \forall i \end{eqnarray*}$

Was ist das denn für ein Satz: "Nur soll man zeigen, dass...."

Zuerst einmal setzen wir voraus, dass $\begin{eqnarray*} v_1+v,v_2+v,....,v_n+v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, also hat die Linearkombination $\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+.....+\alpha_n (v_n+v)=0 \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung.

Fernerhin ist $\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+.....+\alpha_n (v_n+v)=\alpha_1 v_1+.....+\alpha_n v_n+ (\alpha_1+.....+\alpha_n)v \end{eqnarray*}$

Nun hat aber auch $\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1+.....+\alpha_n v_n+ (\alpha_1+.....+\alpha_n)v=0 \end{eqnarray*}$ auch nur die trivialen Lösungen, also sind $\begin{eqnarray*} v_1,.....,v_n,v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Mit der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n,v \end{eqnarray*}$ kann man nun zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} v_1-v, .....,v_n-v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Die Rückrichtung funktioniert dann analog.

19.12.2010, 15:43

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
$\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$
Es ist in der Aufgabe ja noch gegeben, dass $\begin{eqnarray*} v_n \in U := [v_1, ..., v_{n-1}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in V \setminus U \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von lgrizu
Was ist das denn für ein Satz: "Nur soll man zeigen, dass...."

Damit wollte ich dir nur sagen, dass du etwas anderes zeigen möchtest, als in der Aufgaben gefordert.

19.12.2010, 15:52

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ich bin gerade wirklich ein wenig durcheinander gekommen, aber folgendes solltest du dir auf alle Fälle mal anschauen:

Zitat:

Original von lgrizu

Zuerst einmal setzen wir voraus, dass $\begin{eqnarray*} v_1+v,v_2+v,....,v_n+v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, also hat die Linearkombination $\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+.....+\alpha_n (v_n+v)=0 \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung hat.

Fernerhin ist $\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+.....+\alpha_n (v_n+v)=\alpha_1 v_1+.....+\alpha_n v_n+ (\alpha_1+.....+\alpha_n)v \end{eqnarray*}$

Nun hat aber auch $\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1+.....+\alpha_n v_n+ (\alpha_1+.....+\alpha_n)v=0 \end{eqnarray*}$ auch nur die trivialen Lösungen, also sind $\begin{eqnarray*} v_1,.....,v_n,v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Nun bist du dran, wie kann man daraus die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_1-v_n,....v_{n-1}-v_n \end{eqnarray*}$ Schlussfolgern.

19.12.2010, 19:00

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Wie du ja gezeigt hast, wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n, v \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} \beta_1(v_1-v_n)+...+\beta_{n-1}(v_{n-1}-v_n) = \beta_1v_1 + ...+ \beta_{n-1}v_{n-a} -(\beta_1+...+\beta_{n-1})v_n \end{eqnarray*}$
Und da ja die oben genannten Vektoren linear unabhängig sind, muss hier gelten $\begin{eqnarray*} \beta_i = 0 \forall i \end{eqnarray*}$

So richtig?

Und was mich noch ein wenig verwirrt...
In der Aufgabe steht ja $\begin{eqnarray*} v_n \in U := [v_1, ..., v_{n-1}] \end{eqnarray*}$ . D.h. ja dass $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ von den Vektoren aus U dargestellt werden kann. Aber wie du gezeigt hast ist ja $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ von den anderen Vektoren linear unabhängig.

19.12.2010, 22:11

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ach M****, das habe ich vollständig überlesen.

Also noch mal von vorne:

Annahme: $\begin{eqnarray*} v_1+v,...,v_n+v \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, also hat die Linearkombination $\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+...+\alpha_n (v_n+v)=0 \end{eqnarray*}$ nur die trivialen Lösungen.

$\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ ist darstellbar als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,....,v_{n-1} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} v_n=b_1 v_1+....+b_{n-1} v_{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun ist
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+...+\alpha_n (v_n+v)<br /> = \alpha_1 v_1+...+\alpha_{n-1} v_{n-1}+ \alpha_n (b_1 v_1+....+b_{n-1} v_{n-1}+v)+ (\alpha_1+......+\alpha_n)v<br /> =\alpha_1 v_1+...+\alpha_{n-1} v_{n-1}+\alpha_n b_1 v_1+ ....+\alpha_n b_{n-1} v_{n-1}+(\alpha_1+......+\alpha_n)v \end{eqnarray*}$

Also sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_{n-1} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Betrachten wir nun
$\begin{eqnarray*} \beta_1 (v_1-v_n)+...+ \beta (v_{n-1} - v_n)<br /> = \beta (v_1-(b_1 v_1+....+b_{n-1} v_{n-1}))+....+ \beta_{n-1}( v_{n-1}-(b_1 v_1+....+b_{n-1} v_{n-1})) \end{eqnarray*}$

Und sortieren das um, so erhalten wir die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_1-v_n,....,v_{n-1}-v_n \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe, jetzt habe ich mich nicht mehr vertan.

Das ist auch schon hart an der Grenze, die Rückrichtung solltest du auf jeden Fall alleine machen

19.12.2010, 22:35

r00bert

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen

Zitat:

Original von lgrizu

Nun ist
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 (v_1+v)+...+\alpha_n (v_n+v)<br /> = \alpha_1 v_1+...+\alpha_{n-1} v_{n-1}+ \alpha_n (b_1 v_1+....+b_{n-1} v_{n-1}+v)+ (\alpha_1+......+\alpha_n)v<br /> =\alpha_1 v_1+...+\alpha_{n-1} v_{n-1}+\alpha_n b_1 v_1+ ....+\alpha_n b_{n-1} v_{n-1}+(\alpha_1+......+\alpha_n)v \end{eqnarray*}$

Also sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_{n-1} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Warum sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_{n-1} \end{eqnarray*}$ dann l.u.? Und was passiert mit $\begin{eqnarray*} (\alpha_1+......+\alpha_n)v \end{eqnarray*}$ ?

20.12.2010, 00:24

Kevv

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Habs jetzt hinbekommen....

Vielen Dank für die Hilfe

20.12.2010, 01:14

obiwan87

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RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Wäre nett wenn du sagst wie das geht!
Danke

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