Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren beweisen

18.12.2010, 20:27	Clown200	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren beweisen Meine Frage: Hallo, ich stehe im Moment vor der Aufgabe zu beweisen, warum zwei Eigenvektoren der selben Matrix mit verschiedenen Eigenwerten linear Unabhängig sind. An sich leuchtet mir auch ein, dass es so sein muss. Allerdings hänge in der Herleitung doch ein wenig in der Luft. Ich krieg die Formel irgendwie nicht auf die Form gebracht, aus der klar hervor gehen muss, dass $\begin{eqnarray} \alpha,\beta = 0 \end{eqnarray}$ sein müssen. Ich hoffe, jemand kann mir helfen, mit meinem Ansatz zu einer Lösung zu kommen. Vielen Dank, Marcel Meine Ideen: $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{1} E)\vec{x_{1} } = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A-\lambda_{2} E)\vec{x_{2} } = 0 \end{eqnarray}$ Formel für LUA: $\begin{eqnarray} \alpha \vec{x_{1} } + \beta * \vec{x_{2} } = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \alpha * (A-\lambda_{1} E)\vec{x_{1} } + \beta * (A-\lambda_{2} E)\vec{x_{2} } = 0 \end{eqnarray*}$
18.12.2010, 20:53	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also wir nehmen an $\begin{eqnarray} \alpha x_1 +\beta x_2=0 \end{eqnarray}$ . Beachte, dass dann folgt $\begin{eqnarray} 0=A(\alpha x_1 + \beta x_2) ~(1) \end{eqnarray}$ für die betrachtete Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und dass auch folgt $\begin{eqnarray} 0=c(\alpha x_1 + \beta x_2) ~(2) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ aus dem Körper, über dem wir uns befinden. Versuche dann eine Aussage über die Differenz dieser Ausdrücke (1) und (2) zu folgern (bei Verwendung eines geeigneten $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ).
19.12.2010, 16:43	Newermaint	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort, aber leider verstehe ich die nicht ganz... Wo tauchen denn dort meine Eigenwerte wieder auf? Ist mein Ansatz falsch? Ich komme nämlich bei meiner Rechnung nur nicht weiter und suche eigentlich nach keinem anderen Ansatz, solange meiner eventuell richtig ist. Ich hoffe, mir kann jemand helfen, die Rechnung zu einem Ergebnis zu bringen bzw. mir Tipps geben, wie ich sie am besten umforme: $\begin{eqnarray} \alpha (A-\lambda_{1} E)\vec{x_{1} } + \beta * (A-\lambda_{2} E)\vec{x_{2} } = 0 \end{eqnarray}$ Eine Sache, die ich vergessen hatte, fällt mir gerade auf: Es Handelt sich um eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray*}$
20.12.2010, 09:39	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist aber in meinen Augen nicht besonders zielführend, denn $\begin{eqnarray} (A-\lambda_1 \cdot E ) x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A-\lambda_2 \cdot E ) x_2 \end{eqnarray}$ ergeben beide immer den Nullvektor - für beliebige damit multiplizierte Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ . Aber mal eine ganz andere Frage: Warum hast du einen zweiten Account erstellt? Lies bitte mal deine privaten Nachrichten.
20.12.2010, 16:09	Newermaint	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich hatte diesen Account urprünglich schon, wusste nur nicht mehr davon. Du hast Recht, mein Ansatz war nicht richtig. Die Formel ergibt ja den Nullvektor xD Ich werde es mit deinem Ansatz versuchen. Hoffe, ich verstehe ihn. Lg, Marcel

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