Zusammenhang zwischen Matrizen,Polynomen und Diagonalisierbarkeit |
| 19.12.2010, 12:13 | VacaTonta | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Zusammenhang zwischen Matrizen,Polynomen und Diagonalisierbarkeit ich habe eine etwas eher theoretischere frage zum zusammenhang zwischen matrizen und polynomen. folgendes weiß ich bereits: ich kann ja jede lineare abbildung als matrix bezüglich einer gewählten basis darstellen, und dann das char. Polynom und das Minimalpolynom bestimmen. Dann besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass ich, wenn ich eine Matrix bzw. lineare abbildung in ihr char. Polynom einsetze, die Nullmatrix bzw. nullabbildung erhalte, soweit sogut. Das minimalpolynom hat ebenfalls diese eigenschaft(und ist zusätzlich noch normiert und von minimalem grad). nun habe ich im internet einige aufgaben eines bestimmten typs gefunden, die alle (im prinzip) nach dem gleichen schema gelöst werden. Sie lauten beispielsweise: Es sei und es gilt . Beweise, dass diagonalisierbar ist. zunächst wird dabei umgeformt: . nun wird aber (so wie ich es verstanden habe) direkt im nächsten schritt schon von der matrix auf ein polynom geschlossen, in diesem fall wäre das dann , und danach gezeigt, dass dieses vollständig in linearfaktoren zerfällt, also diagonalisierbar ist. mein problem ist jetzt, dass ich den schritt, von matrix zu polynomen nicht verstehe. Die umgekehrte richtung des satzes von cayley-hamilton gilt nicht, soweit ich weiß. Also warum darf man direkt, wenn so etwas gegeben ist, auf ein polynom schließen? hat das einen bestimmten grund? danke schonmal im voraus. |
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| 19.12.2010, 12:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es existiert ein Minimalpolynom und es ist . Dieses teilt weil . |
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