Wanderer möchte Fluss in kürzester Zeit überqueren in Abhängigkeit des Startwinkels

19.12.2010, 13:58

Fnord

Wanderer möchte Fluss in kürzester Zeit überqueren in Abhängigkeit des Startwinkels

Hallo liebe Community!
Ich hänge gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:

Ein hungriger Wanderer steht diesseits eines Flusses der Breite b und der Strömungsgeschwindigkeit u, ihm genau gegenüber befindet sich jenseits des Flusses der Eingang eines Wirtshauses. Der Wanderer, dessen Schwimmgeschwindigkeit v und dessen Gehgeschwindigkeit w beträgt, möchte in Möglichst kurzer Zeit den Eingang des Wirtshauses erreichen. Wie muss er losschwimmen?
Hinweis: Beachten Sie, dass die Funktion, die dem Winkel, mit dem der Schwimmer los schwimmt, die Zeit, die er bis zum Gasthaus braucht, zuordnet,stückweise definiert werden muss, falls v $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ u gilt.

Mein Ansatz dazu: Er verhungert bevor er die Funktion minimiert hat oder ...
$\begin{eqnarray*} t_1(\alpha): \end{eqnarray*}$ Zeit zum Überqueren des Flusses
$\begin{eqnarray*} pos(\alpha): \end{eqnarray*}$ Position nach Überqueren des Flusses in Relation zur Startposition des Wanderers bzw. des Wirtshauses
$\begin{eqnarray*} t_2(\alpha): \end{eqnarray*}$ Zeit zum Laufen von $\begin{eqnarray*} pos(\alpha) \end{eqnarray*}$ zum Gasthaus (0)

$\begin{eqnarray*} t_1(\alpha) = \frac{b}{sin(\alpha)\cdot v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} pos(\alpha) = \frac{b\cdot u}{cos(\alpha)v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2(\alpha) = |pos(\alpha)|\cdot w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(\alpha) = \frac{b}{sin(\alpha)\cdot v} + |\frac{b\cdot u}{cos(\alpha)v}|\cdot w \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich $\begin{eqnarray*} t(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$ setzen soll und warum man je nachdem ob $\begin{eqnarray*} v \geq u \end{eqnarray*}$ ist die Funktion partiell definieren muss.

Vielen Dank und liebe Gruesse,
Fnord

19.12.2010, 14:29

René Gruber

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Zitat:

Original von Fnord
$\begin{eqnarray*} pos(\alpha) = \frac{b\cdot u}{cos(\alpha)v} \end{eqnarray*}$

Wie das? M.E. müsste es

$\begin{eqnarray*} pos(\alpha) = \frac{b}{\tan(\alpha)}-ut_1(\alpha) \end{eqnarray*}$

sein.

EDIT: Entschuldige die Edits, aber ich hab deinen Winkel erst falsch aufgefasst.

19.12.2010, 14:47

Fnord

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Fnord
$\begin{eqnarray*} pos(\alpha) = \frac{b\cdot u}{cos(\alpha)v} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Antwort.
Sicher dass nicht ersteres richtig war?
$\begin{eqnarray*} tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \end{eqnarray*}$
Da ich die Gegenkathete=pos will müsste ich ja dann die Ankathete=b mit tan(alpha) multiplizieren, wenn ich das richtig verstanden habe.

19.12.2010, 15:01

René Gruber

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Ja das kommt davon, weil du Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nirgendwo ordentlich erläutert und auch keine Skizze eingestellt hast. Also muss man sich das mühsam aus der Rechnung zusammenreimen, was du meinst, und aus dieser Gleichung

$\begin{eqnarray*} t_1(\alpha) = \frac{b}{\sin(\alpha)\cdot v} \end{eqnarray*}$

habe ich eben extrahiert, dass bei dir $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen Flussrichtung und Schwimmrichtung ist. D.h., $\begin{eqnarray*} \alpha=90^{\circ} \end{eqnarray*}$ bei senkrechter Schwimmrichtung, d.h. kürzester Flussüberquerungszeit. Und in diesem Sinne ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mitnichten Ankathete, sondern Gegenkathete von Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

19.12.2010, 15:41

Fnord

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Zitat:

Original von René Gruber
Ja das kommt davon, weil du Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nirgendwo ordentlich erläutert und auch keine Skizze eingestellt hast. Also muss man sich das mühsam aus der Rechnung zusammenreimen, was du meinst, und aus dieser Gleichung

$\begin{eqnarray*} t_1(\alpha) = \frac{b}{\sin(\alpha)\cdot v} \end{eqnarray*}$

habe ich eben extrahiert, dass bei dir $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen Flussrichtung und Schwimmrichtung ist. D.h., $\begin{eqnarray*} \alpha=90^{\circ} \end{eqnarray*}$ bei senkrechter Schwimmrichtung, d.h. kürzester Flussüberquerungszeit. Und in diesem Sinne ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mitnichten Ankathete, sondern Gegenkathete von Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

ok, war vielleicht bisschen irreführend.
Hier eine Skizze dazu:

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten werden nicht akzeptiert. Hänge statt dessen deine Grafik an deinen Beitrag an.

[attach]17243[/attach]

bin mittlerweile auf folgende Funktionen gekommen:
$\begin{eqnarray*} t(\alpha) = \frac{b}{sin(\alpha)\cdot v} + w \cdot (b\cdot tan(\alpha) - \frac{b\cdot u}{sin(\alpha)\cdot v}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{sin(\alpha)\cdot v} \end{eqnarray*}$ entspricht der Zeit zum Flussüberqueren, also $\begin{eqnarray*} \frac{Breite des Flusses}{horizontale Geschwindigkeit} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w \cdot (b\cdot tan(\alpha) - \frac{b\cdot u}{sin(\alpha)\cdot v}) \end{eqnarray*}$ entspricht der Zeit zum Laufen, also Laufgeschwindigkeit * Positon am anderen Ufer, wobei die Position aus Breite * tan(alpha) besteht, also der Position nach Überqueren ohne Strömung, minus der Strömungsgeschwindigkeit * Überquerungszeit.

Wenn ich den Term ableite, komm ich auf folgendes, was für mich unmöglich erscheint abzuleiten:
$\begin{eqnarray*} \frac{cos(\alpha)\cdot v \cdot b}{(sin(\alpha)\cdot v)^2} + \frac{b\cdot w}{cos^2(\alpha)} - \frac{cos(\alpha)\cdot v \cdot b \cdot w \cdot u}{(sin(\alpha)\cdot v)^2} \end{eqnarray*}$

19.12.2010, 15:46

René Gruber

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Tja, dann hast du meinen Beitrag von oben immer noch nicht ernst genommen, weswegen ich mich nun verabschiede. Nur noch mit auf den Weg: Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel aus deiner Skizze ist, dann ist die Flussüberquerungszeit

$\begin{eqnarray*} t_1(\alpha) = \frac{b}{\cos(\alpha)\cdot v} \end{eqnarray*}$ ,

also mit $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ im Nenner. Wink

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