Lineare abbildungen

19.12.2010, 15:04

LoBi

Lineare abbildungen

Ich muss für folgende Abbildungen beweisen ob $\begin{eqnarray*} f \in Hom_K(V_1,V_2) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} (V_1,V_2,K)=(Abb(\mathbb R,\mathbb R),\mathbb R,\mathbb R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: g \mapsto g(1) \end{eqnarray*}$

e) $\begin{eqnarray*} (V_1,V_2,K)=(\mathbb C,\mathbb C, \mathbb C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: z \mapsto \overline z \end{eqnarray*}$

f) $\begin{eqnarray*} (V_1,V_2,K)=(\mathbb C,\mathbb C, \mathbb R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: z \mapsto \overline z \end{eqnarray*}$

-----
$\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in K u,v \in V_1 \end{eqnarray*}$

zu d)
$\begin{eqnarray*} f((\alpha u +\beta v)(x))=(\alpha u +\beta v)(1)=(\alpha u)(1) +(\beta v)(1)=\alpha u(1) +\beta v(1)=\alpha f(u(x)) +\beta f(v(x)) \end{eqnarray*}$
Ist das so korrekt ?

zu e),f)
Addition ist klar bei der Multiplikation hab ich noch meine Probleme
$\begin{eqnarray*} K=\mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f((a+ib)*(a'+ib'))=f((aa'-bb')+(ab'+a'b)i)=(aa'-bb')-(ab'+a'b)i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =aa'-bb'-ab'i-a'bi=aa'+i^2bb'-ab'i-a'bi=... \end{eqnarray*}$

Ich muss ja irgendwie auf :
$\begin{eqnarray*} aa'-aib'+a'ib-i^2bb'=(a+ib)(a'-ib') \end{eqnarray*}$ kommen, vorraussgesetzt f ist auch linear.

$\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\alpha(a+ib))=f(\alpha a + \alpha bi)=\alpha a - \alpha bi=\alpha (a - bi)=\alpha f(a+ib) \end{eqnarray*}$

20.12.2010, 07:55

klarsoweit

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RE: Lineare abbildungen

Zitat:

Original von LoBi
zu d)
$\begin{eqnarray*} f((\alpha u +\beta v)(x))=(\alpha u +\beta v)(1)=(\alpha u)(1) +(\beta v)(1)=\alpha u(1) +\beta v(1)=\alpha f(u(x)) +\beta f(v(x)) \end{eqnarray*}$
Ist das so korrekt ?

Ein kleiner formaler Fehler. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha u +\beta v) = (\alpha u +\beta v)(1) = (\alpha u)(1) +(\beta v)(1) = \alpha u(1) +\beta v(1) = \alpha f(u) + \beta f(v) \end{eqnarray*}$

Aufgaben e und f sind zu kompliziert gerechnet. So geht es einfacher:

Sei lambda aus C. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(\lambda \cdot z) = \overline{\lambda \cdot z} = \overline{\lambda} \cdot \overline{z} = \overline{\lambda} \cdot f(z) \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege, was gelten muß, damit f linear ist.

20.12.2010, 09:21

LoBi

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RE: Lineare abbildungen

Zitat:

Original von klarsoweit
[...]

Sei lambda aus C. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(\lambda \cdot z) = \overline{\lambda \cdot z} = \overline{\lambda} \cdot \overline{z} = \overline{\lambda} \cdot f(z) \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege, was gelten muß, damit f linear ist.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(\lambda \cdot z) = \overline{\lambda \cdot z} = \overline{\lambda} \cdot \overline{z} = \overline{\lambda} \cdot f(z)\not=\lambda \cdot f(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f \not\in Hom_{\mathbb C}(\mathbb C,\mathbb C) \end{eqnarray*}$

Ich danke dir

20.12.2010, 10:12

klarsoweit

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RE: Lineare abbildungen
OK. Und wie sieht es mit Aufgabe f aus?

20.12.2010, 10:44

LoBi

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War das hier nicht korrekt ?
$\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\alpha(a+ib))=f(\alpha a + \alpha bi)=\alpha a - \alpha bi=\alpha (a - bi)=\alpha f(a+ib) \end{eqnarray*}$

Addition fehlt noch:
$\begin{eqnarray*} f(z+z')=f(a+ib+a'+ib')=f((a+a')+i(b+b'))=(a+a')-i(b+b') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(a-ib)+(a'-ib')=f(z)+f(z') \end{eqnarray*}$

Edit: du wollst die "einfachere" Version:
$\begin{eqnarray*} f(\alpha z)=\alpha \overline{z}=\alpha f(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z+z')=\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}=f(z)+f(z') \end{eqnarray*}$

20.12.2010, 10:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von LoBi
Edit: du wollst die "einfachere" Version:

Genau.

Ganz richtig wäre: $\begin{eqnarray*} f(\alpha z) = \overline{\alpha z} = \overline{\alpha} \cdot \overline{z} = \alpha \overline{z} = \alpha f(z) \end{eqnarray*}$

mit einer simplen Begründung, warum $\begin{eqnarray*} \overline{\alpha} = \alpha \end{eqnarray*}$ ist.

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