Folge der Fibonacci-Zahlen

19.12.2010, 18:08	jenny853	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge der Fibonacci-Zahlen Die Aufgabenstellungen lauten: Die Folge (an) der Fibonacci-Zahlen ist definiert durch a0 = 1; a1 = 1 und an=an-1 + an-2 für n >= 2 (a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Abschätzung an<=2n für n>= 0 und zeigen Sie mit deren Hilfe, dass die Potenzreihe £anxn einen positiven Konvergenzradius r hat. (b) Beweisen Sie für die dadurch definierte Funktion f (x) = Summe anxn mit Hilfe der Rekursionsformel die Gleichung (1- x - x²) * f (x) = 1 für \|x\| < r (c) Verwenden Sie die Darstellung 1 - x - x² = - (x-t1) * (x-t2) und bestimmen Sie damit reelle Zahlen si derart, dass f (x) = 1/(1 -x -x²) = s1/(x-t1) + s2/(x-t2) für \|x\| < r; (d) Entwickeln Sie die beiden Summanden si/(x-ti) in geometrische Reihen und zeigen Sie damit die Beziehung an= (1/wurzel5) *(((1+wurzel5)/2)^n+1 - ((1- wurzel5)/2)^n+1) für n>=0. Die a) ist für mich noch lösbar, aber ab der b) hab ich nur noch ein großes Fragezeichen vor mir. Bei der c) ist mir noch klar, dass ich x1 und x2 berechnen muss aber viel weiter kam ich auch nicht und ich versuche die Aufgaben seit über einer Woche zu lösen Könntet ihr mir nicht bitte weiterhelfen??? Ich bin sehr dankbar für jede Antwort
19.12.2010, 18:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beitrag ist sehr schlecht lesbar. Verwende LATEX, um Formeln zu schreiben. Für den Einstieg hilft unser Formel-Editor. Die Aufgabe zeigt ein klassisches Verfahren, um lineare Rekursionsbeziehungen in explizite Darstellungen zu überführen. Du mußt nur in der Potenzreihe die Rekursionsbeziehung anwenden, also $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n = 1 + x + \sum_{n \geq 2} a_n x^n = 1 + x + \sum_{n \geq 2} \left( a_{n-1} + a_{n-2} \right) x^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 + x + x \cdot \sum_{n \geq 2} a_{n-1} x^{n-1} + x^2 \sum_{n \geq 2} a_{n-2} x^{n-2} \end{eqnarray}$ Und für die verbleibenden Summen kannst du wieder einfache Ausdrücke in $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ angeben. Löse dann nach $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ auf.
20.12.2010, 21:50	jenny853	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenn mich hier leider noch nicht aus deshalb diese umständliche schreibweise, aber danke für deinen Tipp. Und vorallem eine großes Dankeschön für die Erläuterung

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