Koordinatentransformation/Substitution

19.12.2010, 20:13

äöü

Koordinatentransformation/Substitution

Hallo,

ich bin gerade dabei, die Formel für das Volumen eines Volltorus herzuleiten/nachzuvollziehen. An einer Stelle kam ich nicht weiter und habe etwas im Internet recherchiert, wobei ich auf folgendes PDF-Dokument gestoßen bin: http://numod.ins.uni-bonn.de/teaching/ws09/ingmath3/u01L.pdf
Am Übergang von Seite 1 zu Seite 2 wird für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die neue Funktion $\begin{eqnarray*} a \cdot sin~(t) \end{eqnarray*}$ eingesetzt (weiter oben heißt es, dass sich dies bei einem Integranden wie dort anbieten würde) - wie kommt man darauf, warum bietet sich gerade das an (dass man damit sinnvoll weiterrechnen kann, ist nachvollziehbar, allerdings muss ja beim "ersten Mal", als diese Formel hergeleitet wurde, dieser Schritt vollzogen worden sein, ohne dass man wusste, was als Ergebnis herauskommen muss und welche Termumformungen und -vereinfachungen so ermöglicht werden)? Und warum wird aus $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ ?
Alles weitere ist mir soweit klar, allerdings will ich bei einem Punkt noch sichergehen:
Unter dem Ergebnis stehen Hinweise auf verwendete Formeln, unter anderem $\begin{eqnarray*} cos~(t)^{2} = cos~(2 \cdot t) + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Müsste nicht auch $\begin{eqnarray*} cos~(2 \cdot t) \end{eqnarray*}$ durch 2 geteilt werden, es also $\begin{eqnarray*} cos~(t)^{2} = \frac{cos~(2 \cdot t)}{2} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein?

Dank und Gruß

19.12.2010, 23:17

tohuwabou

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Ja , nach Wikipedia gilt : $\begin{eqnarray*} \cos(2t)=2(\cos t)^2 -1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (\cos t)^2=\frac{\cos(2t)+1}{2} \end{eqnarray*}$
Also hast du recht.

21.12.2010, 21:30

äöü

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Danke, Zustimmung ist immer gut. smile

Kann mir bitte noch jemand bei dem anderen Problem helfen?

22.12.2010, 08:42

20_Cent

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RE: Koordinatentransformation/Substitution

Zitat:

Original von äöü
wie kommt man darauf, warum bietet sich gerade das an (dass man damit sinnvoll weiterrechnen kann, ist nachvollziehbar, allerdings muss ja beim "ersten Mal", als diese Formel hergeleitet wurde, dieser Schritt vollzogen worden sein, ohne dass man wusste, was als Ergebnis herauskommen muss und welche Termumformungen und -vereinfachungen so ermöglicht werden)? Und warum wird aus $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ ?

Zur ersten Frage: Möglicherweise wurde nur rumprobiert, vllt. gibts Leute die sowas sofort sehen, vllt. war die Lösung schon bekannt durch Annäherrungsverfahren/Raten/etc.. In diesem Fall ists aber recht naheliegend, wenn man cos^2+sin^2=1 im Kopf hat, weil dann ja die Wurzel wegfällt, sowas kann man sehen, mit Übung.

Zur zweiten Frage: Wenn du substituierst musst du immer das dz auch ersetzen, genau wie da gemacht. Gleich bleiben tut das nur bei einer Verschiebung um eine Konstante. Schau dir die Substitutionsregel nochmal genau an.

MfG 20

22.12.2010, 19:20

äöü

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RE: Koordinatentransformation/Substitution

Zitat:

[...]

Zur ersten Frage: Möglicherweise wurde nur rumprobiert, vllt. gibts Leute die sowas sofort sehen, vllt. war die Lösung schon bekannt durch Annäherrungsverfahren/Raten/etc.. In diesem Fall ists aber recht naheliegend, wenn man cos^2+sin^2=1 im Kopf hat, weil dann ja die Wurzel wegfällt, sowas kann man sehen, mit Übung.

Okay, stimmt, erfordert aber wirklich ein gutes Auge. Augenzwinkern

Zitat:

Zur zweiten Frage: Wenn du substituierst musst du immer das dz auch ersetzen, genau wie da gemacht. Gleich bleiben tut das nur bei einer Verschiebung um eine Konstante. Schau dir die Substitutionsregel nochmal genau an.

MfG 20

Ah, vielen Dank, die Substitutionsregel kannte ich noch gar nicht.
Dann wird aber genau genommen auch - anders als beschrieben - nicht wirklich $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a \cdot cos~t~dt \end{eqnarray*}$ , oder? Die Multiplikation mit der Ableitung der eingesetzten Funktion ist ja eigenständiger Schritt und das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ gibt nach wie vor nur an, nach welcher Variable integriert wird, richtig (diese Gleichung hatte mich etwas verwirrt)?

22.12.2010, 22:40

20_Cent

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dz wird im Rahmen der Substitution durch a cost dt ersetzt, im gleichen Schritt wird beim Integranden z ersetzt. Das gehört zusammen, vorher wurde über z integriert, nachher über t. Der Ausdruck dz bzw. dt gibt jeweils an, worüber integriert wird, richtig.

23.12.2010, 01:23

äöü

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Alles klar, danke dir!

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