Zeigen, dass die Basiswahl der Darstellungsmatrix egal ist bei f = x * id |
| 19.12.2010, 21:45 | Martin L | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zeigen, dass die Basiswahl der Darstellungsmatrix egal ist bei f = x * id Es geht um folgende Aufgabe: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Sei eine lineare Abb. Sei B eine Basis von V. Wir bezeichnen die Matrix von f bezüglich B mit . zu zeigen: ist für jede Wahl von B dieselbe Matrix, wenn und nur dann, wenn für ein ist. Um welche Matrix handelt es sich? Also an sich ist das ja Logisch. Um die Matrix zu erhalten, bildet man ja alle Basisvektoren ab. Dann drückt man das Ergebnis als Linearkombination der Basiselemente aus. In diesem Fall, multipliziert man ja den einen Basisvektor mit x, und stellt diesen dann auch genau wieder durch den selben Basisvektor in der Linearkombination da. Bei allen anderen Summanden ist der Koeffizient ja 0. wenn man also eine Matrix mit Einträgen a_ij hat, dann steht immer an den Stellen wo i = j ist ein x und sonst nur Nullen. Man hat also die Einheitsmatrix * x. Die Frage ist jetzt, wie ich das Zeige. In LinA verstehe ich zwar meistens was man von mir will, aber ich finde es unheimlich kompliziert, das formal zu zeigen. ich hoffe ihr könnt mir da helfen und irgendwann wird man das dann denke ich auch hinkriegen wenn mans immer wieder macht. Gruß Martin |
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| 20.12.2010, 21:45 | Frage? | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir wäre mit einem Tipp zur Lösung auch geholfen... |
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| 21.12.2010, 19:16 | Hans Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir auch.... 
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| 21.12.2010, 19:46 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die eine Richtung sollte ja klar sein, denn man muss einfach nur die Abbildungsmatriz der Abbildung bestimmen. Interessant ist die andere Richtung: Zeigen, dass wenn die Abbildungsmatrix immer gleich ist, es eine solche Abbildung sein muss. Dazu nehme man sich erstmal zwei verschiedene Basen mit der selben Abildungsmatrix. Damit kann man arbeiten. Für Näheres wäre es erstmal gut, zu schreiben, wie weit man kommt, was man selber so hinbekommt etc. air |
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| 21.12.2010, 20:07 | Martin L | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich probier mal die Hinrichtung zu formulieren Sei Basis: Das lässt sich jeweils darstellen durch mit für x = i und ansonsten a = 0. Das bedeutet für die Matrix, dass genau in da ein lambda steht, wo zeilen und spaltenzahl der Matrix = dem index des abgebildeten Basiselements ist. Immer noch nicht sooo mathematisch... ich mein ich habs ja glaub ich verstanden aber es ist schwer das auszudrücken... Gruß Martin |
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| 21.12.2010, 22:30 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(B) ist sicherlich keine Matrix, so wie du das hier aufschreibst. Du hast zwar (glaube ich!) die richtige Idee, aber da ist noch einiges falsch. Nimm dir lieber einen einzelnen Basisvektor, bilde ihn ab und stelle ihn dann wieder in der Basis dar (und um Verwirrungen auzuschließen kommentiere auch genau, wann du mit der Basis im Urbild- oder Bildraum arbeitest!). Daraus bastelst du dir dann sauber deine Abbildungsmatrix und zeigst dadurch, dass diese unabhängig von der Basis immer gleich aussieht. Eine Idee haben ist nett. Korrektes Formulieren gehört aber dazu, schließlich soll es auch jemand verstehen. Und auch wenn ich sehe, dass die grobe Idee wohl stimmt, würde ich beleibe nicht sagen, dass du hast verstanden hast - dazu steht da zu wenig. 
Und schonmal als Hinweis:
Etwas sinnvoller ausgedrückt: Das ist Lambda mal der Einheitsmatrix. Man kann sowas aber durchaus mit Symbolen schreiben, statt mit solch einer wörtlichen Umschreibung.
air |
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| 21.12.2010, 22:33 | Martin L | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
:-D ja du hast ja recht. lambda mal die einheitsmatrix könnte ich sogar noch Mathematisch schreiben. Aber aus nem Text, der in meinem Kopf ja entsteht, eine Sammlung mathematischer Symbole auf Papier zu machen fällt mir halt noch schwer. Man gewöhnt sich aber hoffentlich sicherlich dran ;-). Gruß Martin |
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| 21.12.2010, 22:34 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klar. Aber nur durch Übung. 
(Edit: Was insbesondere bedeutet, dass man es tun muss)air |
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