Textaufgabe, Denkanstoß bitte.

19.12.2010, 21:49

Xangeon

Textaufgabe, Denkanstoß bitte.

Hallo,

ich habe eine Textaufgabe hier, welche ich zu lösen versuche, jedoch bräuchte ich einen kleinen Denkanstoß, keine komplette Lösung.

Aufgabe:

Um ein Schwimmbecken durch zwei verschieden große Leitungen (Rohre) zu füllen, sind 9 Stunden erforderlich. Die größere der beiden Leitungen würde zum Füllen des Beckens 7,5 Stunden weniger brauchen als die kleiner. Wie viel Zeit brauchen die Leitungen einzeln zum Füllen des Beckens?

Mein bisheriger Rechenweg wäre gewesen:

a + b = 9 __________ // da beide Rohre zusammen 9h brauchen

a = y _____________ // y ist die Zeit des größeren Rohrs

b = y + 7,5 ________ // das kleinere Rohr braucht die Zeit vom großen Rohr + 7,5

Jedoch komme ich auf ganz Falsche Lösungen... laut Lösungen kommt da 15 & 22,5h raus, jedoch rechne ich hin und her ohne auf diese Lösung zu kommen.

Mit freundlichem Gruß

19.12.2010, 22:26

Gualtiero

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RE: Textaufgabe, Denkanstoß bitte.
Es geht in dieser Aufgabe um Leistung, und die ist ja definiert durch Arbeit pro Zeit.

Nehmen wir als Einheit für die Arbeit 1 Schwimmbecken, als Einheit für die Zeit Stunden.
y sei die Befüllungszeit des größeren Rohres allein.

Beide Rohre befüllen das Becken in 9 Stunden, also ist die Gesamtleistung 1/9.

Die Einzelleistungen wären: 1/y für das größere, 1/(y + 7.5) für das kleinere Rohr.

Die Gesamtleistung ergibt sich als Summe der beiden Einzelleistungen.

Diesen Schritt versuche selbst umzusetzen.

19.12.2010, 22:47

Xangeon

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Also wäre die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} = \frac{1}{y} + \frac{1}{y + 7,5} \end{eqnarray*}$

diese müsste man dann umformen...

müsste ich hinkriegen, danke Big Laugh

19.12.2010, 23:13

Xangeon

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Hm, wenn ich die Gleichung auflöse, komme ich immer auf:

$\begin{eqnarray*} y = - \frac{45}{4} \end{eqnarray*}$ :/

19.12.2010, 23:30

mYthos

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Das kann natürlich nicht stimmen! WIE hast du das gerechnet?
Es ergibt sich eine quadratische Gleichung ...

mY+

20.12.2010, 18:43

Xangeon

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Jep die Quadratische Gleichung hatte ich nach erneutem rechnen auch:

0 = y² + 6,5y - 9

hatte ich als QG raus, als ich diese dann mit Hilfe der p-q-Formel aufgelöst hatte, kam ich auf ein krummes Ergebnis...

20.12.2010, 18:55

mYthos

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Diese Gleichung ist falsch (sie folgt NICHT aus dem o.a. Ansatz).
Zeige, wie du das gerechnet hast!

mY+

20.12.2010, 19:05

Xangeon

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Ok...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} = \frac{1}{y} + \frac{1}{y+7,5} | * 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{9}{y} + \frac{1}{y+7,5} | * (y + 7,5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + 7,5 = \frac{9}{y} + 1 | - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + 6,5 = \frac{9}{y} | : 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{y+6,5} = y | * y + 6,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 = y (y + 6,5) | Klammer aufloesen \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 = y² + 6,5y | - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = y² + 6,5y - 9 \end{eqnarray*}$

das war meine Rechnung, wahrscheinlich habe ich beim Umformen eine Regel missachtet D:

20.12.2010, 20:14

mYthos

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Zitat:

Original von Xangeon
Ok...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} = \frac{1}{y} + \frac{1}{y+7,5} | * 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{9}{y} + \frac{1}{y+7,5} | * (y + 7,5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + 7,5 = \frac{9}{y} + 1 | - 1 \end{eqnarray*}$

...

das war meine Rechnung, wahrscheinlich habe ich beim Umformen eine Regel missachtet D:

Ja, so ist es. In der dritten Zeile ist der Fehler: die 9 sind ebenfalls mit zu multiplizieren. Vergiss nicht, dann noch dasselbe auch mit y zu tun.

Übrigens solltest du bei richtiger Rechnung y = 15 herausbekommen, die andere Lösung ist nicht sinnvoll (warum?).

mY+

20.12.2010, 20:57

Xangeon

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Verstehe ich nicht ganz...

in der dritten Zeile subtrahiere ich die Eins, wo soll ich da noch eine 9 multiplizieren, insbesondere wenn diese im Zähler steht?

20.12.2010, 21:01

mYthos

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Du musst JEDEN Summand mit dem Faktor (y + 7,5) multiplizieren, daher auch den Bruch mit dem Zähler 9. Sonst bleibt doch die Äquivalenz nicht gewahrt.

mY+

20.12.2010, 23:07

Xangeon

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So sieht jetzt meine Rechnung aus...auf 15 komme ich auch, aber nicht auf 22,5 als zweites Ergebnis in der Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} = \frac{1}{y} + \frac{1}{y+7,5} \frac{1}{9} = \frac{y+7,5}{y²+7,5y} + \frac{y}{y²+7,5y} \frac{1}{9} = \frac{2y+7,5+y}{y²+7,5y} \frac{1}{9} + \frac{-2y-7,5}{y²+7,5y} = 0 \frac{y²+7,5y}{9y²+67,5y} + \frac{-18y-67,5}{9y²+67,5} = 0 \frac{y²+7,5y-18y-67,5}{9y²+67,5y} = 0 \frac{y²-10,5y-67,5}{9y²+67,5y} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt suche ich die "Nullstellen" bzw Definitionsluecken

$\begin{eqnarray*} 9y²+67,5y = 0 y² + 7,5y = 0 y² + 7,5y + 3,75² = 3,75² + 0 y²+7,5y+3,75² = 14,063 + 0 y²+7,5y+3,75² = 14,063 (y+3,75)² = 14,063 y+3,75 = \pm \sqrt{14,063} y_1 + 3,75 = 3,75 y_1 = -3,75 + 3,75 y_1 = 0 y_2+3,75 = -3,75 y_2 = -3,75 - 3,75 y_2 = -7,5 \end{eqnarray*}$

Die Definitionsluecken sind also 0 und -7,5

$\begin{eqnarray*} (y²-10,5y-67,5) = 0*(9y³+67,5y) y²-10,5y-67,5 = 0 y²-10,5y = 0 + 67,5 y²-10,5y+(-5,25²) = -5,25²+67,5 y²-10,5y+(-5,25²) = 95,063 (y+(-5,25))² = 95,063 y+(-5,25) = \pm \sqrt{95,063} y_1-5,25 = 9,75 y_1 = 5,25 + 9,75 y_1 = 15 y_2 - 5,25 = -9,75 y_2 = -9,75 + 5,25 y_2 = -4,5 \end{eqnarray*}$

Daraus erfolgt eine Loesungsmenge von: L={15/-4,5}

Ich hoffe dieses mal ist der Rechenweg richtig, ist zwar bisschen umständlich, aber so kam ich schonmal auf 15

Die 22,5 kann man sich ja denken, denn das kleinere Rohr braucht 7,5 Stunden länger als das Große Rohr, wodurch sich die Formel:
$\begin{eqnarray*} y_2 = y_1 + 7,5 \end{eqnarray*}$

ergibt

22.12.2010, 00:28

mYthos

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Ja, etwas umständlich hast du tatsächlich gerechnet. Aber es ist richtig. smile

Du hast dir viel Mühe gegeben und das Schriftbild ist tadellos. So schön und mit LaTex geschrieben, das sieht man selten, Hut ab.

mY+

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Textaufgabe, Denkanstoß bitte.

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