Sanwich Lemma

20.12.2010, 08:55

kretek

Sanwich Lemma

Meine Frage:
Hi,
ich soll bei den folgenden Aufgaben die Grenzwerte bestimmen und wollte mal fragen, ob meine ideen richtig sind

(a) $\begin{eqnarray*} a_{n} =\sqrt[n]{2n+3^n} \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} a_{n} =\sqrt[2n]{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich glaube, dass sich bei beiden Fällen das Sandwich Lemma gut eignet.

(a)

$\begin{eqnarray*} 3\leq \sqrt[n]{2n+3^n}\leq \sqrt[n]{2^n+3^n}\leq 3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^n+b^n}= max(a,b) \end{eqnarray*}$

(b)

$\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[2n]{n} \leq \sqrt[2n]{2n} \leq 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}= 1 \end{eqnarray*}$

ist das richtig so?

liebe grüße kretek

20.12.2010, 09:02

klarsoweit

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RE: Sanwich Lemma
Sowohl diese

Zitat:

Original von kretek
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^n+3^n}\leq 3 \end{eqnarray*}$

als auch diese

Zitat:

Original von kretek
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{2n} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ungleichungen sind falsch, wie du leicht feststellst, wenn du mal für n ein paar Zahlen einsetzt. Augenzwinkern

20.12.2010, 10:22

kretek

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RE: Sanwich Lemma
Big Laugh

oh, ja super... Hammer

(a)
aber versteh ich grade nicht ganz, da wir $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n+b^n} = max (a, b) \end{eqnarray*}$ für a und b größer gleich null in der vorlesung definiert haben. wie soll ich die wurzel denn sonst abschätzen? oder ist die abschätzung davor auch falsch?

(b)
vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{n} \leq \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

20.12.2010, 10:43

klarsoweit

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RE: Sanwich Lemma
Bei (a) reicht die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 3 \leq \sqrt[n]{2n+3^n} \leq \sqrt[n]{2^n+3^n} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du n gegen unendlich laufen lassen. Der Grenzwert von dem Ausdruck auf der rechten Seite wurde ja schon in der Vorlesung besprochen.

Zitat:

Original von kretek
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{n} \leq \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung stimmt, sollte aber noch begründet werden.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ stimmt natürlich nur für n=1.

20.12.2010, 10:49

kretek

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RE: Sanwich Lemma
okay, danke Augenzwinkern

den rest schaff ich dann alleine Augenzwinkern

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Sanwich Lemma

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