kurze fragen zu determinanten

20.11.2006, 20:36

rise against

kurze fragen zu determinanten

also ich habe ganz kurz mal nen paar fragen, bzw habe aussagen die ich verneinen oder bejahen soll, hab mein lsg gepostet würde gerne wissen ob man das so machen kann oder ob ich irgendwo einen fehler habe

wir sprechen immer über die matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ € $\begin{eqnarray*} M_n(R) \end{eqnarray*}$ mit den einträgen $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$

Aussagen:

1) wenn die einträge ganze zahlen sind, muss die determinante auch eine ganze zahle sein

bsp: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => det=1

also müsste die aussage schonmal stimmen

2) det(A) + det(B) =det(A+B)

bsp: $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(A)=1 det(B)=-5

$\begin{eqnarray*} A+B=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
det(A+B)=-6

also ist die 2te aussage falsch, da -4 ungleich -6 ist

3) wenn alle einträge rationale zahlen sind dann ist die determinaten auch rational

bsp: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} \\\sqrt{3} & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist det(A)=-1 und somit eine ganze zahl also ist die aussage zu verneinen

so hoffe habe das deutlich dargestellt, würde gerne ein feedback haben ob das stimmt was ich aufgeführt habe oder ob ich einen fehler in den rechnungen habe. danke euch im vorraus schonmal

20.11.2006, 20:42

tigerbine

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RE: kurze fragen zu determinanten
Ohne alles komplettgelesen zu habe, lasse ich mich dennoch zu folgender Aussage hinreißen:

"BEISPIELE SIND KEINE BEWEISE"

siehe

Zitat:

bsp: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => det=1

also müsste die aussage schonmal stimmen

Sie lassen nur vermuten, ob man mit dem Beweis einer Behauptung Erfolg haben könnte. Oder man hat mit Ihnen schon die Behauptung widerlegt (Gegenbeispiel)

Gruß Wink

20.11.2006, 20:45

tigerbine

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RE: kurze fragen zu determinanten
Damit dürfte sich die erste Aufgabe als schwierigste erweisen. wie wäre es mit der Entwicklung nach Lapplace und einer Induktion?

Gruß Wink

20.11.2006, 21:03

rise against

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ja da hast du recht, dass bsp keine beweise sind...

hab die aussage aber auch nciht komplett übernommen wie ich sie hatte, da stan wenn alle einträge ... sind gilt ... und ich muss nur ankreuzen ja oder nein, also dürfte wenn ich ein gegenbeispiel gefunden habe das ja reichen, gut bei der 1) aussage ergibt sich daraus dann ein problem, allerdings weiss ich nicht wie ich das beweisen soll, laplace habe ich noch nie gehört und induktion kann ich nichts mit anfangen Hammer

, wäre nett wenn du mal einen ansatz posten könntest, dann könnte ich es ja vllt verstehen.

danke schonmal Wink

21.11.2006, 00:54

tigerbine

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Mach ich ...was ist denn das für'n "Multilpe Choice" in der SChule???

Hier was zum Laplace

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_(Mathematik)

Vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren.

http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_(Mathematik)

wie man das jetzt bei"MulCh" anwenden soll, weiss ich auch nicht. Poste doch mal die Aussage 1 komplett.

22.11.2006, 12:44

rise against

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Also aufgabe 1 laute wie folgt.

wenn die einträge der quadratischen matrix A alle ganze zahlen sind dann muss auch die determinanten eine ganze zahl sein. [ ] ja [ ] nein

also ich bin der meinung ja weil wie soll ich aus einem produkt von ganzen zahlen eine reelle oder rationale zahl erhalten..

bei aufgabe 2 weiss ich nicht genau, die lautet:

wenn die einträge der quadratischen matrix A alle rationalen zahlen sind muss auch die determinante eine rationale zahl sein. [ ]ja [ ] nein

dann hab ich ja oben das beispiel mit den wurzlen geschrieben, wo die determinaten eine ganze zahl ist, bin mir aber da nicht so sicher.

danke für deine mühe Gott

22.11.2006, 13:15

tigerbine

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Zur Berechnung wie gesagt - Laplacescher Entwicklungssatz -

dann entsteht eine Summe mit Produkten aus Einträgen der Matrix.

Damit folgt für:

1. ja

2. Ist denn eine Wurzel eine rationale Zahl ???? Funktioniert deine Idee mit dem Gegenbeispiel trotzdem??? Was sind rationale Zahlen??? Augenzwinkern

22.11.2006, 15:07

rise against

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ups wurzeln sind kein ganzen zahlen...

weiss jetzt nemmer so genau wie das mit dem gegenbeispiel ist, also haette ich die einträge 1/3 und 27/9 käme zb wieder ne ganze zahl raus, allerdings ließe sich 27/9 ja auch als 3 schreiben, wird denn dann 27/9 als rationale zahl betrachtet? laut defintion schon oder? als rationale zahlen kann ich doch alle zahlen betrachten die ich als bruch darstellen kann mit nenner ungleich 0.

ist denn auch dort die lösung ja? Forum Kloppe

irgednwie bin ich nu verunsichert

22.11.2006, 15:26

tigerbine

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Rationale Zahlen sind wie folgt definiert

http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl

Beispielmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.11.2006, 15:59

rise against

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ja gut das verstehe ich, dann wäre die antwort "ja" weil ich ja jede ganze zahl auch als rational zahl schreiben kann.. un durch ein produkt von rationalen zahlen keine irrationale erhalten kann... oder täusche ich mich wieder?

22.11.2006, 16:41

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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