bahnen, norm.teiler und operationen

20.12.2010, 12:46	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
bahnen, norm.teiler und operationen Hallo, sitze an folgender Aufgabe und langsam wird die Zeit knapp: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine endliche Gruppe und sei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ein Normalteiler in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} r:G\times X\to X \end{eqnarray}$ eine transitive Gruppenwirkung. Zeige, dass es zwischen je zwei Bahnen der Einschränkung von $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} H\times X \end{eqnarray}$ eine Bijektion gibt. Also gehe ich mal los und sage: Seien $\begin{eqnarray} a,b\in X \end{eqnarray}$ (X ist denke ich einfach irgendwie eine Menge) und $\begin{eqnarray} Ha,Hb \end{eqnarray}$ die dazugehörigen Bahnen. Allerdings ist $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} H\times X \end{eqnarray}$ auch wieder keine Wirkung (wenn Wirkung das gleiche ist wie Operation). Jedenfalls betrachte ich mal die Bahnen $\begin{eqnarray} Ha=\{ha : h\in H\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Hb \end{eqnarray}$ analog. Dann nehme ich mir noch eine Abbildung: $\begin{eqnarray} \phi: Ha\to Hb \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ transitiv ist folgt, dass zu $\begin{eqnarray} a,b\in X \end{eqnarray}$ es $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} ga=b \end{eqnarray}$ . Jetzt habe ich bei Wiki gelese: bei einem transitiven Operator gibt es nur eine einzige Bahn. Damit wäre ja die Bijektion trivial. Aber der Beweis, der Beweis. Dankbar für jede Hilfe. Grüße, schmo
20.12.2010, 12:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei g mit ga = b. Betrachte die Multiplikationsabbildung $\begin{eqnarray} \tau_g(x) = gx \end{eqnarray}$ , diese ist bijektiv. Berechne das Bild $\begin{eqnarray} \tau_g(Ha) \end{eqnarray}$
20.12.2010, 14:06	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann sieht mein Beweis so aus: Seien $\begin{eqnarray} a,b\in X \end{eqnarray}$ beliebig. Da $\begin{eqnarray} H \triangleleft G \Rightarrow h\cdot a \in X \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} h \in G \end{eqnarray}$ ). Da $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ transitiv nach Vor. existiert ein $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ga=b \end{eqnarray}$ . Betrachte nun die Abbildung $\begin{eqnarray} r_g:Ha\to X, x\mapsto gx \end{eqnarray}$ . Diese ist bijektiv, klar. Für beliebiges $\begin{eqnarray} ha\in Ha \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} r_g(ha) = g(ha) =(\text{Def. Wirkung}) (gh)a = (H \text{ normal in } G) (hg)a = (\text{Wirkung}) h(ga)=hb\in Hb \end{eqnarray}$ Damit folgt die Behauptung. Frage: Was macht eine Multiplikationsabbildung besonders? Wie sind $\begin{eqnarray} Ha, Hb \end{eqnarray}$ Bahnen? $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist ja nicht zwingend ein Gruppe. EDIT: Doch klar: eine Untergruppe. Wo wird verwendet, dass $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ endlich ist? Danke für die Hilfe, schmo
20.12.2010, 14:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
So passt das noch nicht. g und h müssen nicht kommutieren. Auch passt mir irgendwie der Definitionsbereich von tau bei dir noch nicht. Ich hätte kurz $\begin{eqnarray} gHa = Hga = Hb \end{eqnarray}$ geschrieben. Keine Ahnung was du mit besonders bei der Abbildung meinst. Hab die mir halt definiert so dass es passt. Und H ist doch Normalteiler, also auch Gruppe?! Wo endlich benutzt wird weiß ich leider nicht.
20.12.2010, 15:05	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, dass mit den nicht zwingen kommutierenden g und h war dumm. Danke für den Hinweis. Auch dass die Bahnen existieren, weil die H als Normalteile auch Gruppen sind, ist jetzt klar. Aber was ist mit der Definitionsmenge? Ist das nicht ganz $\begin{eqnarray} Ha \end{eqnarray}$ ? Grüße, schmo
20.12.2010, 15:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} \tau_g : Ha \to X \end{eqnarray}$ nicht bijektiv ist.
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