Partielle Ableitung von Hintereinander ausgeführten Fkt.

20.12.2010, 13:47

Eyvan

Partielle Ableitung von Hintereinander ausgeführten Fkt.

Hi zusammen,

ich muss $\begin{eqnarray*} f \circ g: R^3\rightarrow R \end{eqnarray*}$ ableiten

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy+x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=\begin{pmatrix}xy^{2} + z\\ exp(z) +y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass man das mit kettenregel rechnen kann.

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{(1)} =(f^{(1)} \circ g)* g^{(1)} \end{eqnarray*}$

Nur wie sieht mein $\begin{eqnarray*} (f^{(1)} \circ g) \end{eqnarray*}$ aus?

20.12.2010, 14:24

Cel

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$\begin{eqnarray*} f'(x,y) = f^{(1)} \end{eqnarray*}$ ist der Gradient, er wird mit den partiellen Ableitungen gebildet: $\begin{eqnarray*} f'(x,y) = \nabla f (x,y) = (\partial_x f, \partial_y f) \end{eqnarray*}$ . Und in den setzt du dann die gesamte Funktion g ein, so, wie sie ist.

20.12.2010, 14:39

Eyvan

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Ich werds gleich mal ausprobieren, hoffendlich klapps...

20.12.2010, 15:04

Eyvan

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also
$\begin{eqnarray*} f_{x}= \begin{pmatrix} xy^{2}+z \\ exp(z)+y \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} y^2(exp(z)+y)^{2} \\0 \\ \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray*}$

nur würde das mit $\begin{eqnarray*} g_{x} \end{eqnarray*}$ multipliziert nicht 1 ergeben so wie ich es vorher als Hinternaderausführung gerechnet habe.

Was stimmt nun nicht an meinen Rechnungen?

20.12.2010, 18:23

Cel

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Ehrlich gesagt verstehe ich gerade gar nicht, was du machst.

Beim mir ist $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = y+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = (y+1, x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt bilden wir $\begin{eqnarray*} \nabla f(g(x,y,z)) = \nabla f(xy^2 + z, e^z + y) \end{eqnarray*}$

Verwirrend ist hier nur, dass hier sozusagen nicht y=y ist.

Schreiben wir das lieber mal so: $\begin{eqnarray*} \nabla f(\tilde x, \tilde y) = (\tilde y +1, \tilde x) \end{eqnarray*}$ und wir bilden $\begin{eqnarray*} \nabla f(\underbrace{xy^2 + z}_{= \tilde x}, \underbrace{e^x + y}_{= \tilde y}) \end{eqnarray*}$

Wird's jetzt klarer?

27.12.2010, 19:58

Eyvan

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Zitat:

Original von Cel

Beim mir ist $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = y+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = (y+1, x) \end{eqnarray*}$

Das ist mir klar!

Zitat:

Original von Cel
Und jetzt bilden wir $\begin{eqnarray*} \nabla f(g(x,y,z)) = \nabla f(xy^2 + z, e^z + y) \end{eqnarray*}$

Ist:
$\begin{eqnarray*} \ \nabla f(xy^2 + z, e^z + y)=((e^z+y)+1,xy^2+z) \end{eqnarray*}$
irgenwie muss ich doch f' auf g anwenden!?

27.12.2010, 20:02

Cel

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Zitat:

Original von Eyvan
Ist:
$\begin{eqnarray*} \ \nabla f(xy^2 + z, e^z + y)=((e^z+y)+1,xy^2+z) \end{eqnarray*}$

Genau. Und das multiplizierst du jetzt mit $\begin{eqnarray*} g'(x,y,z) \end{eqnarray*}$ (das ist in diesem Fall die Jacobi-Matrix).

27.12.2010, 20:17

Eyvan

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hey, danke Freude

und die Jacobi-Matrix ist 2x2 oder...

28.12.2010, 11:00

Cel

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Nein, sie ist nicht 2x2. Die Funktion ist ja $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , weswegen die Jacobimatrix 2x3 (zwei Zeilen, drei Spalten) ist.

28.12.2010, 15:24

Eyvan

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RE: Partielle Ableitung von Hintereinander ausgeführten Fkt.
Achso alles klar, danke.

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