Integral mit Substitutionsregel

20.12.2010, 15:55

murph91

Integral mit Substitutionsregel

Meine Frage:
Also ich habe kein kleines großes Problem, ich soll ein Integral ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} A=4*\int_0^2 \! \sqrt{4x^{2}-x^{4} } \, dx = 4*\int_0^2 \! \sqrt{x²(4-x²)} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
soo das soll ich mit der Substitutionsregel ausrechen
denn würde ich sagen t=4-x²
aber sonst habe ich keine ahnung wie ich das jetzt machen soll.

20.12.2010, 16:04

Mulder

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RE: Analysis
Das x², das du in der Wurzel ausgeklammert hast, könntest du doch auch aus der Wurzel rausziehen, oder? smile

20.12.2010, 18:29

murph91

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RE: Analysis
Ich weiß das leider nicht. Aber ich bräuchte dringend Hilfe beim Lösen der Aufgabe.

20.12.2010, 20:18

Mulder

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RE: Analysis

Zitat:

Original von murph91
Ich weiß das leider nicht.

Mit Verlaub, dass für nichtnegative x auch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$

ist, sollte man dann eigentlich schon wissen, oder? Wenn man das Ganze dann zu

$\begin{eqnarray*} A=4 \cdot \int\limits_0^2 x \cdot \sqrt{4-x^2} \, \, \dx \end{eqnarray*}$

umschreibt, dann wird das Ganze auch offensichtlicher. Die von dir vorgeschlagene Substitution t=4-x² ist genau richtig. Wie weit kommst du da denn?

20.12.2010, 21:07

murph91

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RE: Analysis
weiter weiß ich nicht. Ich muss ja iwie die stammfunktion bilden oder? oder macht das die regel?

20.12.2010, 21:13

lgrizu

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RE: Analysis
Da Mulder off ist...

Zuerst einmal t=4-x² substituieren, wie du auch selbst vorgeschlagen hast und rechnen, so weit wie du kommst.

20.12.2010, 22:15

murph91

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RE: Analysis
was heißt denn rechnen so weit ich komme? ich verstehe jetzt nichts was ich machen muss

20.12.2010, 22:19

Mulder

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RE: Analysis
Also hast du überhaupt keine Peilung, wie das mit der Integralsubstitution eigentlich geht?

Klar, dass es dann Probleme gibt...

Willst du dann vielleicht erst nochmal das generelle Vorgehen in deinen Unterlagen nachschlagen oder vielleicht auch bei Wikipedia? Da werden auch einige Beispiele gerechnet, die dir das Ganze vielleicht anschaulicher machen.

Gezielte Fragen kannst du dann, wenn sich Verständnisschwierigkeiten ergeben, wieder hier stellen, aber bevor sich einer von uns hier jetzt dumm und dämlich tippt und irgendeinen Kram schreibt, der schon tausendfach im Netz zu finden ist, eignest du dir vielleicht erstmal ein bisschen Basiswissen an. Augenzwinkern

21.12.2010, 17:32

murph91

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okayy

Ich habs gelesen aber nur ganz wenig davon verstanden.
also ich habe hier auch eine Lösung:
$\begin{eqnarray*} A=4\int_0^2 \! \sqrt{x²(4x-x^{4}) } \, dx=4*(-\frac{1}{2} \int_2^0 \! \sqrt{t} \, dt)=-2*\left[\frac{2}{3}\sqrt{t^{3} } \right]_{4}^{0}=\frac{4}{3} \sqrt{4³} =\frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

So Ich hoffe dasz ist soweit alles richtig. Aber ich verstehe einige schritte einfach noch nicht:
wie komm ich auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und wieso steht da jetzt nur noch wurzel t?

21.12.2010, 17:46

Mulder

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Das Ergebnis stimmt schon mal.

Unter der Wurzel steht nur noch t, weil wir das eben substituiert ("ersetzt") haben. Gemäß der Substitutionsvorschrift t=4-x². Das machen wir, weil sich das viel einfacher integrieren lässt. Aber das muss natürlich auch hinhauen. Stünde vor der Wurzel nicht das x, das wir vorher rausgezogen haben, könnte man das nicht so machen.

Wenn du substituierst, musst du jedes x im Integranden durch die neue Variable ersetzen (in unserem Fall das t). Für Schüler liegen da die größten Schwierigkeiten wohl darin, dass natürlich auch dieses Differential, das dx, das da am Ende steht, mitsubstituiert und durch dt ersetzt werden muss.

Wir betrachten dazu eben die Ableitung von t nach x. Wir haben

$\begin{eqnarray*} t=4-x^2 \end{eqnarray*}$

Das heißt, wir betrachten unsere neue Variable t jetzt einfach als eine Funktion t(x). Und die leiten wir nun ab. Die formale Schreibweise für die Ableitung (nach Leibniz) ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dx} = (4-x^2)' \end{eqnarray*}$

Einfach merken. Hattet ihr wohl auch mal im Unterricht, oder? So, jetzt bilde rechts die Ableitung. Dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dx} = (4-x^2)'=-2x \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt nach dx auflösen, indem du dt und dx einfach als Faktoren betrachtest. Multipliziere also erst mit dx und teile dann durch -2x. Liefert:

$\begin{eqnarray*} \dd x = -\frac{1}{2x} \dd t \end{eqnarray*}$
Ersetze das dx im Integral jetzt damit und kürze. Dann siehst du, wo die -1/2 herkommen. smile

Siehst du dann auch, warum das x vor der Wurzel so wichtig ist? Sonst würde sich x nicht rauskürzen. nach der Substitution darf nirgends, aber auch wirklich NIRGENDS noch die alte Variable x auftauchen. Das ist wichtig.

Wenn du das (die Formel) ein wenig genauer durchblickst, siehst du auch, dass dahinter nichts anderes steckt als die aus der Differentialrechnung bekannte Kettenregel. Das haben wir hier umgedreht.

21.12.2010, 18:21

murph91

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okay danke das hat mir schonmal sehr geholfen. smile

ich mal mal etwas verstanden!!
aber denn geht es schon gleich weiter im nächsten schritt.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \sqrt{t^{3} } \end{eqnarray*}$ ist ein Grundintegral, das ist einfach so richtig?

aber wieso ist das hinter den eckigen klammern jetzt 0 und 4? das war ursprünglich mal 2 und 0!?!

und wieso sind die 4/3 positiv? weil -2*2/3 sind doch -4/3 oder?

21.12.2010, 18:27

Mulder

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Zitat:

Original von murph91
aber wieso ist das hinter den eckigen klammern jetzt 0 und 4? das war ursprünglich mal 2 und 0!?!

Tja, die Grenzen müssen ja auch mitsubstituiert werden. Die gehören noch zu x. Wir brauchen die Grenzen zu t.

Das geht so: Wenn $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ die untere Grenze des alten Integrals ist, und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ die obere Grenze, dann kannst du einfach in die Substituition einsetzen:

$\begin{eqnarray*} t_1 = 4-x_1^2=4-0^2=4 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} t_1=4 \end{eqnarray*}$ deine untere Grenze für das neue Integral.

Genauso gehts auch mit der oberen Grenze.

Und der neue Integrand, das $\begin{eqnarray*} \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ lässt sich doch völlig elementar integrieren. Schreib das um zu $\begin{eqnarray*} t^{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du das mit der Potenzregel integrieren.

Zitat:

und wieso sind die 4/3 positiv? weil -2*2/3 sind doch -4/3 oder?

Du rechnest ja obere Grenze minus untere Grenze. Und minus mal minus ergibt wieder plus. Darum wird es am Ende wieder positiv.

21.12.2010, 18:41

murph91

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ist ja doch einfacher als ich gedacht habe!! Big Laugh

vielen dank!

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