Verteilungsfunktion approximieren

20.12.2010, 15:57

Riemannson

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Verteilungsfunktion approximieren

hallo,

ich hab folgende aufgabe: sei $\begin{eqnarray*} X_n \sim Bin(n,p_n) \end{eqnarray*}$ auf einem diskrete Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, A, P) \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} np_n=\lambda > 0 \forall n \end{eqnarray*}$ wogegen konvergiert dann $\begin{eqnarray*} P(\{\omega :X_n(\omega)=k\}) \end{eqnarray*}$ ?

Falls $\begin{eqnarray*} p_n=p\in (0,1) \forall n \end{eqnarray*}$ wogegen konvergiert dann $\begin{eqnarray*} P(\{\omega:\frac{X_n(\omega)-E[X_n]}{\sqrt n} \le x\}) \end{eqnarray*}$ ?
Hinweis $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ besitzt gleiche Verteilung wie $\begin{eqnarray*} Y_1+...+Y_n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} Y_i \sim Bin(1,p) \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich das heraus?

20.12.2010, 18:26

René Gruber

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Zitat:

Original von Riemannson
Falls $\begin{eqnarray*} np_n=\lambda > 0 \forall n \end{eqnarray*}$ wogegen konvergiert dann $\begin{eqnarray*} P(\{\omega :X_n(\omega)=k\}) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} p_n = \frac{\lambda}{n} \end{eqnarray*}$ in die Wahrscheinlichkeitsformel der Binomialverteilung einsetzen und dann Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bilden - zumindest nehme ich stark an, dass es dir um diesen Grenzwert geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Riemannson
Falls $\begin{eqnarray*} p_n=p\in (0,1) \forall n \end{eqnarray*}$ wogegen konvergiert dann $\begin{eqnarray*} P(\{\omega:\frac{X_n(\omega)-E[X_n]}{\sqrt n} \le x\}) \end{eqnarray*}$ ?

Der Zentrale Grenzwertsatz (zumindest der von Moivre-Laplace) ist dir geläufig? Einfach mal überlegen, was diese Aussage hier mit dem ZGWS zu tun haben könnte.

21.12.2010, 10:15

Riemannson

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zu 1.)

mal einfach eingesetzt: $\begin{eqnarray*} p_k=\binom n k \cdot \bigg(\frac{\lambda}{k}\bigg)^k \cdot \bigg( 1-\frac{\lambda}{k}\bigg)^{n-k} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} k\to \infty \end{eqnarray*}$ geht das gegen Null, da $\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{\lambda}{k}\bigg)^k \end{eqnarray*}$ gegen Null geht verwirrt

verwirrt

aber richtig ist das glaub ich nicht!

21.12.2010, 10:38

Riemannson

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zu2.)

also zum zentralen Grenzwertsatz: es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} P\bigg(\frac{X_n-\mu}{\sigma : \sqrt n} \le x \bigg) = \Phi(x) \end{eqnarray*}$ das sieht doch schon mal ziemlich ahnlich aus! $\begin{eqnarray*} \mu = E[X_n] \end{eqnarray*}$ aber was ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

dann muss man die verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi (x) \text{ für } N ( \mu , \sigma) \end{eqnarray*}$ bestimmen richtig?

21.12.2010, 12:08

René Gruber

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zu 1.) Es ist $\begin{eqnarray*} p_n = \frac{\lambda}{n} \end{eqnarray*}$ , also NICHT $\begin{eqnarray*} p_n = \frac{\lambda}{k} \end{eqnarray*}$ . Letzteres macht auch nicht den geringsten Sinn, da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ kein Parameter sondern nur ein temporärer Index ohne jede Bedeutung ist. unglücklich

unglücklich

Und nochmal, es geht um $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

21.12.2010, 12:19

Riemannson

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nochmal eingesetzt: $\begin{eqnarray*} p_k=\binom N k \cdot \bigg(\frac{\lambda}{n}\bigg)^k \cdot \bigg( 1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{N-k} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ geht das gegen Null, da $\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{\lambda}{n}\bigg)^k \end{eqnarray*}$ gegen Null geht verwirrt

verwirrt

aber richtig ist das glaub ich nicht!

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21.12.2010, 12:24

René Gruber

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Wo kommt denn jetzt das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ her? Da muss n stehen!

Was machst du nur für ein fürchterliches Verwechslungschaos bei einer bloßen, simplen Einsetzoperation, das wird mir langsam zu bunt. unglücklich

unglücklich

Vielleicht ist das Übel, dass du $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} P(X_n=k) \end{eqnarray*}$ schreibst, was hier in Widerspruch steht zur Bezeichnung $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ des Binomialverteilungsparameters in $\begin{eqnarray*} X_n\sim B(n,p_n) \end{eqnarray*}$

21.12.2010, 12:36

Riemannson

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jetzt aber: $\begin{eqnarray*} P(X_n=k)=\binom n k \cdot \bigg( \frac{\lambda}{n}\bigg)^k\cdot\bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-k} \end{eqnarray*}$ und jetzt $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen richtig Gott

Gott

21.12.2010, 12:38

René Gruber

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Schwere Geburt, aber das ist es, ja.

21.12.2010, 12:49

Riemannson

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nun könnte ich wieder anfangen $\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{\lambda}{n}\bigg)^k \end{eqnarray*}$ geht gegen null aber das lasse ich mal!

es geht doch sicher darum $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot \frac{\lambda^k}{n^k} \cdot \bigg(1-\frac {\lambda}{n}\bigg)^{n-k} \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen! und dann n gegen unedlich laufen zu lassen... richtiger weg?

21.12.2010, 13:03

Riemannson

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also zuerst mal: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot\frac{\lambda^k}{n^k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)\lambda^k}{n^kk!}=\frac{n^k(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k+1}{n})\lambda^k}{n^kk!}=\frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ??

21.12.2010, 13:16

Riemannson

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und $\begin{eqnarray*} \bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-k} =\sum_{i=0}^{n-k} \frac{-\lambda^i}{i!}=? \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

21.12.2010, 13:22

Riemannson

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$\begin{eqnarray*} ...=e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ ????

21.12.2010, 15:00

René Gruber

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Zitat:

Original von Riemannson
also zuerst mal: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot\frac{\lambda^k}{n^k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)\lambda^k}{n^kk!}=\frac{n^k(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k+1}{n})\lambda^k}{n^kk!}=\frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ??

Richtig.

Und mit dem bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x \end{eqnarray*}$

angewandt auf $\begin{eqnarray*} x=-\lambda \end{eqnarray*}$ siehst du, dass auch deine zweite Vermutung richtig ist. Freude

Freude

P.S.: Diese Gleichheit hier

Zitat:

Original von Riemannson
$\begin{eqnarray*} \bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-k} =\sum_{i=0}^{n-k} \frac{-\lambda^i}{i!} \end{eqnarray*}$

solltest du aber aus dem Gedächtnis streichen. Du solltest nie, niemals Gleichheit für etwas schreiben, was nur im Grenzübergang übereinstimmt - das ist eine hässliche Angewohnheit.

21.12.2010, 15:18

Riemannson

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klar mit dem bekannten grenzwert sieht mans ja sofort!

zu 2.) das ist doch die approximation der binomialverteilung durch die normalverteilung oder?

22.12.2010, 13:43

Riemannson

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ich muss doch $\begin{eqnarray*} P(\{\omega:\frac{X_n(\omega)-E[X_n]}{\sqrt n} \le x\}) \end{eqnarray*}$ auf diese form bringen $\begin{eqnarray*} P\bigg( \frac{Y_n-n\mu}{\sigma \sqrt n}\le x\bigg) \end{eqnarray*}$ und das geht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ oder nicht? verwirrt

verwirrt

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